Os lados de um losango medem 4 e um dos seus ângulos 30°. A medida da diagonal menor do losango é
UFRGS · 2013
Questão 40 — UFRGS 2013
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
A diagonal menor fecha um triângulo com dois lados 4 e o ângulo de 30° entre eles. Use a lei dos cossenos.
Resolução
O que você precisa saber
- Em um losango, a diagonal menor fica oposta ao ângulo agudo.
- Lei dos cossenos: d ao quadrado é igual a a² + b² − 2ab cos do ângulo entre a e b.
- cos 30° é raiz de 3 sobre 2.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: calcular o lado oposto ao ângulo de 30° no triângulo de lados 4 e 4.
ESTRUTURAR
d^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos 30°.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Colocar 16 em evidência para chegar à forma das alternativas.
A armadilha: usar o ângulo de 150°, que dá a diagonal maior.
CALCULAR
d^2 = 32 - 32 \cdot \frac{\sqrt3}{2} = 32 - 16\sqrt3 = 16(2 - \sqrt3)d = 4\sqrt{2 - \sqrt3}CONFERIR
\sqrt{2 - \sqrt3} \approx 0{,}518, então d \approx 2{,}07, menor que o lado 4, como deve ser para um ângulo de 30° ✓.
Por que as outras tentam: E (4\sqrt{2 + \sqrt3}) é a diagonal maior, oposta ao ângulo de 150°; A (2\sqrt{2 - \sqrt3}) é só metade da diagonal menor, para quem para em 4 \operatorname{sen} 15°.
Resposta
4\sqrt{2 - \sqrt3}.
Alternativa correta
C