Considere o hexágono regular ABCDEF, no qual foi traçado o segmento FD medindo 6\ \text{cm}, representado na figura abaixo.
A área do hexágono mede, em \text{cm}^2,
UFRGS · 2015
Questão 40 — UFRGS 2015
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
FD pula um vértice: é a diagonal menor. No triângulo FED, o ângulo em E é 120°. Quanto vale FD em função do lado?
Resolução
O que você precisa saber
- O ângulo interno do hexágono regular é 120°.
- A diagonal menor do hexágono de lado l mede l vezes raiz de 3.
- O hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros de lado l.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: achar o lado a partir da diagonal menor e calcular a área.
ESTRUTURAR
FD = l\sqrt{3} = 6 \Rightarrow l = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}ESCOLHER ESTRATÉGIA
Usar A = 6 \cdot \frac{l^2\sqrt{3}}{4}.
A armadilha: achar que FD é o lado ou a diagonal maior.
CALCULAR
l^2 = 12A = 6 \cdot \frac{12\sqrt{3}}{4} = 18\sqrt{3}CONFERIR
No triângulo FED, a lei dos cossenos dá FD^2 = l^2 + l^2 - 2l^2\cos 120° = 3l^2 = 36, então l^2 = 12 ✓.
Por que as outras tentam: FD como lado daria 54\sqrt{3}, e como diagonal maior daria \frac{27\sqrt{3}}{2}. Nenhuma está nas alternativas, sinal de que FD é a diagonal menor.
Resposta
18\sqrt{3}\ \text{cm}^2.
Alternativa correta
A