Na figura abaixo, encontram-se representados o hexágono regular ABCDEF, seis quadrados com um de seus lados coincidindo com um lado do hexágono e um círculo que passa por vértices dos quadrados.
Se o lado do hexágono é 1, então a área do círculo é
UFRGS · 2016
Questão 45 — UFRGS 2016
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Do centro do hexágono até o lado ED são \frac{\sqrt3}{2} (a altura de um triângulo equilátero). Some o lado do quadrado e use Pitágoras com a metade do lado.
Resolução
O que você precisa saber
- O apótema do hexágono regular de lado 1 é raiz de 3 dividida por 2.
- Os vértices externos de cada quadrado ficam a 1 do lado do hexágono.
- Raio ao quadrado = (distância vertical)² + (distância horizontal)².
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o quadrado do raio, que é o que entra na área do círculo.
ESTRUTURAR
Vértice externo do quadrado sobre ED, a partir do centro O:
• vertical: \frac{\sqrt3}{2} + 1;
• horizontal: \frac12.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular r^2 por Pitágoras e multiplicar por \pi.
A armadilha: usar o raio 1 + \frac{\sqrt3}{2} direto, esquecendo o deslocamento horizontal de \frac12.
CALCULAR
r^2 = \left(1 + \frac{\sqrt3}{2}\right)^2 + \left(\frac12\right)^2 = 1 + \sqrt3 + \frac34 + \frac14 = 2 + \sqrt3A = \pi r^2 = \pi(2 + \sqrt3)CONFERIR
Valor aproximado: r^2 \approx 3{,}73, r \approx 1{,}93. É pouco menos que 2, coerente com a figura, em que o círculo vai até cerca de 2 lados do centro ✓.
Resposta
\pi(2 + \sqrt3).
Alternativa correta
C