Sendo a e b números reais quaisquer, considere as seguintes afirmações.
I) (a - b)^2 \ge 0.
II) Se a > b então a^3 > b^3.
III) Se a > b > 1 então \frac1a > \frac1b > 1.
Quais afirmações estão corretas?
UFRGS · 2018
Questão 27 — UFRGS 2018
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Na III, teste a = 3 e b = 2. Inverter números maiores que 1 dá números menores que 1.
Resolução
O que você precisa saber
- Todo quadrado de número real é maior ou igual a zero.
- A função cubo é crescente em toda a reta, inclusive para negativos.
- Para positivos, inverter troca o sentido da desigualdade.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: quais das três desigualdades valem sempre.
ESTRUTURAR
- I: um quadrado.
- II: o cubo preserva a ordem.
- III: inversos de números maiores que 1.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Justificar a I e a II e testar a III com números.
A armadilha: na II, pensar que o cubo falha com negativos, como o quadrado. O cubo preserva o sinal e a ordem.
CALCULAR
I. Quadrado de real. Verdadeira.
II. x \mapsto x^3 é crescente: -2 > -3 \Rightarrow -8 > -27. Verdadeira.
III. a = 3, b = 2: \frac13 < \frac12 < 1. As duas desigualdades estão invertidas. Falsa.
CONFERIR
O correto na III seria \frac1a < \frac1b < 1 ✓.
Por que as outras tentam: quem esquece que inverter troca o sentido aceita a III e marca C ou E.
Resposta
Apenas I e II.
Alternativa correta
D