Considere o hexágono regular ABCDEF de lado 1. Sobre o lado \overline{AF} do hexágono, constrói-se o quadrado AGHF, como mostra a figura abaixo. Sendo M o ponto médio de \overline{GH}, constrói-se o triângulo CDM.
A área do triângulo CDM é
UFRGS · 2020
Questão 31 — UFRGS 2020
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
A base CD mede 1. A altura é a distância de M até CD: quanto vale a distância entre os lados opostos AF e CD? E M está a que altura de AF?
Resolução
O que você precisa saber
- No hexágono regular de lado L, a distância entre lados opostos é L√3.
- O quadrado de lado 1 coloca M a altura 1 acima de AF.
- Área do triângulo = base · altura / 2.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: achar a altura do triângulo como diferença entre a distância dos lados opostos e o lado do quadrado.
ESTRUTURAR
Distância de AF a CD: \sqrt3. Altura de M sobre AF: 1. Altura do triângulo: \sqrt3 - 1.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Base 1 vezes altura \sqrt3 - 1, dividido por 2.
A armadilha: esquecer de dividir por 2 e marcar \sqrt3 - 1.
CALCULAR
A = \frac{1 \cdot (\sqrt3 - 1)}{2} = \frac{\sqrt3 - 1}{2} \approx 0{,}37CONFERIR
A altura \sqrt3 - 1 \approx 0{,}73 é menor que o lado 1, e na figura o triângulo é mais baixo que o quadrado ✓.
Por que as outras tentam: A não divide por 2; C soma 1 em vez de subtrair; E é a área com altura \sqrt3, como se M estivesse em AF; D é a área de um triângulo equilátero de lado 1.
Resposta
\dfrac{\sqrt3 - 1}{2}.
Alternativa correta
B