No retângulo ABCD, representado na figura abaixo, os três ângulos destacados com vértice em C são iguais.
A área do triângulo sombreado AEC, em relação à área total do retângulo, corresponde a
UFRGS · 2023
Questão 53 — UFRGS 2023
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
O ângulo em C é reto e está dividido em três: cada parte tem 30°. Chame a altura de h e escreva os lados com tg 30° e tg 60°.
Resolução
O que você precisa saber
- O ângulo do retângulo mede 90°; dividido em três partes iguais, dá 30° cada.
- tg 30° = √3/3 e tg 60° = √3.
- A área de um triângulo com base num lado do retângulo é base vezes altura do retângulo, dividido por 2.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a razão entre as áreas, que não depende do tamanho do retângulo.
ESTRUTURAR
• BC = h.
• No triângulo ADC: \widehat{DCA} = 30^\circ, então DC = h\sqrt3.
• No triângulo EBC: \widehat{BCE} = 30^\circ, então EB = \frac{h}{\sqrt3}.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular AE e comparar as áreas.
A armadilha: imaginar E no meio de AB. A alternativa A, \frac12, é a área do triângulo ABC, e AEC é menor que ele.
CALCULAR
AE = h\sqrt3 - \frac{h}{\sqrt3} = \frac{2h}{\sqrt3}\frac{A_{AEC}}{A_{ABCD}} = \frac{\frac{AE \cdot h}{2}}{h\sqrt3 \cdot h} = \frac{\frac{h^2}{\sqrt3}}{h^2\sqrt3} = \frac13CONFERIR
\frac{AE}{AB} = \frac{2h/\sqrt3}{h\sqrt3} = \frac23: E está a dois terços de A até B. O triângulo AEC tem \frac23 da área de ABC, que é metade do retângulo: \frac23 \cdot \frac12 = \frac13 ✓.
Resposta
\frac{1}{3} .
Alternativa correta
B