Na figura abaixo, há dois hexágonos regulares de lado a com o vértice B em comum.
Os pontos A, B e C são colineares.
A distância entre os pontos A e C é
UFRGS · 2023
Questão 51 — UFRGS 2023
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Entre A e B há um vértice do hexágono no meio: AB é uma diagonal menor. O ângulo interno do hexágono é 120°.
Resolução
O que você precisa saber
- O ângulo interno do hexágono regular mede 120°.
- Num triângulo, c² = a² + b² − 2ab · cos(ângulo entre a e b).
- A diagonal menor do hexágono regular de lado a mede a√3.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: AC = AB + BC, com AB e BC diagonais menores dos hexágonos.
ESTRUTURAR
• AB liga dois vértices separados por um: diagonal menor do hexágono da esquerda.
• Por simetria, BC é a diagonal menor do hexágono da direita.
• No triângulo formado por A, B e o vértice entre eles: lados a e a, ângulo de 120°.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Lei dos cossenos para AB e depois dobrar.
A armadilha: achar AB e parar. AB vale \sqrt3 a, alternativa C, mas a pergunta é AC.
CALCULAR
AB^2 = a^2 + a^2 - 2a^2\cos 120^\circ = 2a^2 + a^2 = 3a^2 \Rightarrow AB = \sqrt3\,aAC = 2\sqrt3\,aCONFERIR
Com a = 1, AC \approx 3{,}46. A largura dos dois hexágonos juntos é 2 + 2 = 4, e AC fica abaixo disso ✓.
Resposta
2\sqrt{3}a .
Alternativa correta
D