Os quatro hexágonos da imagem a seguir são regulares e cada um tem área de 48 cm².
Os vértices do quadrilátero ABCD coincidem com vértices dos hexágonos. Os pontos E, D, B e F são colineares.
A área do quadrilátero ABCD, em cm², é
UFRGS · 2019
Questão 40 — UFRGS 2019
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Cada hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros iguais. O losango ABCD tem lados iguais ao lado do hexágono, e a diagonal DB também.
Resolução
O que você precisa saber
- O hexágono regular se divide em 6 triângulos equiláteros com o lado do hexágono.
- O ângulo interno do hexágono regular mede 120°.
- Losango com um ângulo de 60° é formado por dois triângulos equiláteros.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a área do losango entre os hexágonos, usando a área de cada hexágono.
ESTRUTURAR
• Triângulo equilátero do hexágono: \frac{48}{6} = 8 cm².
• Os lados AD, AB, CD e CB e a diagonal DB são lados de hexágonos, então todos medem \ell, o lado do hexágono.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Mostrar que o losango é feito de dois triângulos equiláteros do mesmo tamanho dos do hexágono.
A armadilha: marcar 8, a área de um triângulo só. O losango tem dois.
CALCULAR
DB é o lado comum entre os hexágonos de cima e de baixo, então DB = \ell. Com AD = AB = \ell, o triângulo ABD é equilátero, e o mesmo vale para CBD.
[ABCD] = 2 \cdot 8 = 16 \text{ cm}^2CONFERIR
Pelas medidas: 48 = \frac{3\sqrt3}{2}\ell^2 \Rightarrow \ell^2 = \frac{32}{\sqrt3}. O losango tem diagonais \ell e \ell\sqrt3: área \frac{\ell^2\sqrt3}{2} = \frac{32}{\sqrt3} \cdot \frac{\sqrt3}{2} = 16 ✓.
Por que as outras tentam: 8 é um triângulo só; 24 é meio hexágono.
Resposta
16.
Alternativa correta
C