Considere o cubo ABCDEFGH, representado na figura abaixo, cuja aresta mede 4 e M é o ponto médio da aresta \overline{AB}.
A área do triângulo MHG é
UFRGS · 2020
Questão 32 — UFRGS 2020
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Use HG como base, que mede 4. A altura é a distância de M até a reta HG. As retas AB e HG são paralelas: qual a distância entre elas?
Resolução
O que você precisa saber
- AB e HG são arestas paralelas, em faces opostas do cubo.
- A distância entre AB e HG é a diagonal de uma face: aresta · √2.
- Área do triângulo = base · altura / 2.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: perceber que a altura do triângulo é a diagonal de face, qualquer que seja o ponto de AB.
ESTRUTURAR
Base HG = 4. Altura = distância entre as retas AB e HG = 4\sqrt2 (diagonal da face ABGH).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Área = \tfrac{4 \cdot 4\sqrt2}{2}.
A armadilha: achar que o ponto médio muda a altura e tentar calcular MH e MG pelo caminho longo.
CALCULAR
A = \frac{4 \cdot 4\sqrt2}{2} = 8\sqrt2CONFERIR
Pelas coordenadas: com A(0,0,0), B(4,0,0), D(0,4,0) e E(0,0,4), temos M(2,0,0), H(0,4,4) e G(4,4,4). MH = MG = \sqrt{4 + 16 + 16} = 6. Pela altura do isósceles: \sqrt{36 - 4} = \sqrt{32} = 4\sqrt2 ✓.
Por que as outras tentam: D (16\sqrt2) esquece de dividir por 2; B usa a altura pela metade; A e E também erram por fatores de 2.
Resposta
8\sqrt2.
Alternativa correta
C