Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Considere o cubo e os tetraedros ABCD, EFGD e HIJD, nos quais os pontos A, C, E, G, H e J são pontos médios de arestas do cubo, como representado na figura abaixo.
A razão entre a soma dos volumes dos tetraedros ABCD, EFGD e HIJD e o volume do cubo é
Em ABCD, as arestas BA, BC e BD saem de B em direções perpendiculares. Com aresta do cubo a, quanto mede cada uma?
O que a questão quer de verdade: calcular o volume de um tetraedro "de canto" e multiplicar por 3.
Em ABCD: BD = a, BA = \tfrac{a}{2}, BC = \tfrac{a}{2}, perpendiculares entre si.
Base: triângulo retângulo ABC de catetos \tfrac{a}{2}; altura BD = a.
A armadilha: tomar as três arestas inteiras, como se A e C fossem vértices do cubo, e chegar a 1/6 por tetraedro.
Com a = 2: cada tetraedro tem \tfrac{1 \cdot 1 \cdot 2}{6} = \tfrac13, os três somam 1, e o cubo tem 8: razão \tfrac18 ✓.
Por que as outras tentam: B (1/6) é a razão de um tetraedro de canto com as três arestas inteiras; C, D e E são grandes demais, porque os três tetraedros juntos ocupam uma parte pequena do cubo, como a figura mostra.
\dfrac18.
