Um prisma reto de base hexagonal regular tem a mesma altura de um prisma cuja base é um triângulo equilátero. Considere h a medida da aresta da base do prisma hexagonal e t a medida da aresta da base do prisma triangular. Se ambos os prismas têm o mesmo volume, então a razão \frac{h}{t} vale
UFRGS · 2019
Questão 44 — UFRGS 2019
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Com a mesma altura, volumes iguais pedem bases de mesma área. O hexágono de lado h vale 6 triângulos equiláteros de lado h.
Resolução
O que você precisa saber
- O volume do prisma é a área da base vezes a altura.
- O triângulo equilátero de lado ℓ tem área ℓ²√3 ÷ 4.
- O hexágono regular de lado ℓ tem 6 vezes essa área.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a razão entre os lados de um hexágono e de um triângulo equilátero de mesma área.
ESTRUTURAR
6 \cdot \frac{h^2\sqrt3}{4} = \frac{t^2\sqrt3}{4}Aqui h é a aresta do hexágono, e não a altura do prisma.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Igualar as áreas das bases e tirar a raiz.
A armadilha: parar em \frac{h^2}{t^2} = \frac16 e marcar \frac16, alternativa B. A razão pedida é entre as arestas, então falta a raiz.
CALCULAR
6h^2 = t^2 \Rightarrow \frac{h^2}{t^2} = \frac16 \Rightarrow \frac{h}{t} = \frac{1}{\sqrt6}CONFERIR
Com h = 1: t = \sqrt6 \approx 2{,}45. O hexágono de lado 1 tem área \approx 2{,}60, e o triângulo de lado \sqrt6 tem \frac{6\sqrt3}{4} \approx 2{,}60 ✓.
Por que as outras tentam: B esquece a raiz; D e E invertem a razão.
Resposta
\frac{1}{\sqrt6}.
Alternativa correta
A