Na figura a seguir, está representado um cubo cuja aresta tem 2 cm de medida. O ponto P está localizado no centro da face EFGH.
A medida do segmento \overline{AP} é
UFRGS · 2019
Questão 43 — UFRGS 2019
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Desça de P até o centro O da base. O triângulo AOP é retângulo em O: um cateto é a aresta e o outro é meia diagonal da base.
Resolução
O que você precisa saber
- A diagonal do quadrado de lado ℓ mede ℓ√2.
- O centro de uma face fica no meio das diagonais dela.
- Pitágoras resolve distâncias no espaço quando se acha um triângulo retângulo.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a distância de um vértice da base ao centro da face oposta.
ESTRUTURAR
• O é o centro da base, logo abaixo de P: OP = 2.
• AO é metade da diagonal da base: \frac{2\sqrt2}{2} = \sqrt2.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Pitágoras no triângulo AOP.
A armadilha: confundir com a diagonal do cubo, 2\sqrt3, alternativa D. P está no centro da face, não no vértice oposto.
CALCULAR
AP^2 = \left(\sqrt2\right)^2 + 2^2 = 2 + 4 = 6 \qquad AP = \sqrt6 \text{ cm}CONFERIR
Com coordenadas A = (0, 0, 0) e P = (1, 1, 2): AP = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt6 ✓. E \sqrt6 \approx 2{,}45 fica entre a aresta (2) e a diagonal do cubo (\approx 3{,}46) ✓.
Por que as outras tentam: \sqrt2 é AO, 2 é a aresta e 2\sqrt3 é a diagonal do cubo.
Resposta
\sqrt6.
Alternativa correta
C