Prismas, cubos e paralelepípedos: como o ENEM cobra, com questões resolvidas

1 · ELEMENTOS E NOMES

Duas bases iguais e paralelas, ligadas por faces laterais.

Prisma é o sólido com duas bases congruentes e paralelas, ligadas por faces laterais que são paralelogramos. O nome vem do polígono da base: prisma triangular, quadrangular, pentagonal, hexagonal.

Prisma reto: as arestas laterais são perpendiculares às bases. As faces laterais são retângulos, e a altura é a própria aresta lateral.
Prisma oblíquo: as arestas laterais são inclinadas. A altura é a distância entre as bases, menor que a aresta lateral.
Prisma regular: é reto e tem a base em forma de polígono regular.
Paralelepípedo: prisma cuja base é um paralelogramo. O "bloco retangular" do dia a dia é o paralelepípedo reto-retângulo. O cubo é o caso com as 12 arestas iguais.

Correção do Livro 2, cap. 28, §1: o livro diz que as faces laterais são retangulares. Isso vale só para o prisma reto; no oblíquo elas são paralelogramos, como o próprio §3 do capítulo mostra.

Prisma triangular reto: as bases são os triângulos; as faces laterais, os retângulos.

Contando vértices, arestas e faces

Num prisma cuja base tem \(n\) lados, cada base tem \(n\) vértices e \(n\) arestas, e cada vértice de baixo se liga ao de cima por uma aresta lateral. Daí:

\[V=2n\qquad A=3n\qquad F=n+2\]

O prisma hexagonal tem 12 vértices, 18 arestas e 8 faces, e a relação de Euler confere: \(12-18+8=2\). Essas fórmulas economizam contagem em figuras com muitas arestas escondidas. Mais sobre Euler e planificações na página de poliedros.

ENEM 2017 · Questão 148 Fácil

A cabana sem tecnologia

Uma rede hoteleira dispõe de cabanas simples na ilha de Gotland, na Suécia, conforme Figura 1. A estrutura de sustentação de cada uma dessas cabanas está representada na Figura 2. A ideia é permitir ao hóspede uma estada livre de tecnologia, mas conectada com a natureza.

Figura 1: foto da cabana em forma de A, com duas paredes inclinadas que se encontram no alto. Figura 2: estrutura de arestas da cabana, com duas faces triangulares iguais na frente e no fundo, ligadas por arestas paralelas.

ROMERO, L. Tendências. Superinteressante, n. 315, fev. 2013 (adaptado).

A forma geométrica da superfície cujas arestas estão representadas na Figura 2 é

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Olhe a frente e o fundo da cabana: são dois triângulos iguais, ligados por arestas paralelas. Que sólido tem duas bases iguais e paralelas?

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o nome do sólido formado pela estrutura da cabana.
ESTRUTURAR
- Frente e fundo: triângulos iguais.
- Laterais e chão: retângulos.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Identificar as bases pelo par de faces iguais e paralelas.
A armadilha: tomar o chão retangular como base e marcar prisma quadrangular reto (alternativa D). As faces que se repetem iguais e paralelas são os triângulos, então eles são as bases.
CALCULAR
Faces: 2 triângulos (bases) e 3 retângulos (as duas paredes inclinadas e o chão). Total de 5 faces, 9 arestas e 6 vértices, como no prisma triangular.
CONFERIR
Relação de Euler: \(V - A + F = 6 - 9 + 5 = 2\) ✓.

Resposta: E

Leve para outras questões: para nomear um prisma, procure as duas faces iguais e paralelas. Elas são as bases, mesmo que o sólido esteja "deitado".

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2 · VOLUME E CAPACIDADE

Volume é a área da base vezes a altura.

\[V=A_{\text{base}}\cdot h\]

PARALELEPÍPEDO\(V=a\cdot b\cdot c\). Caixa de 40 cm × 30 cm × 20 cm: \(24\,000\) cm³.
CUBO\(V=a^3\). Aresta 5 cm: \(125\) cm³.
OUTRA BASECalcule primeiro a área do polígono da base (triângulo, trapézio, hexágono) e depois multiplique pela altura.

Volume	Capacidade
1 cm³	1 mL
1 dm³	1 L
1 m³	1 000 L

A água que sobe ocupa o mesmo volume do objeto que afundou.

Prisma oblíquo: mesmo volume do reto

Empilhe moedas iguais e depois empurre a pilha de lado, inclinando-a. A quantidade de metal não muda: cada moeda continua com a mesma área e a pilha tem a mesma altura. É o princípio de Cavalieri: sólidos com bases de mesma área, na mesma altura, cortados por planos paralelos sempre em seções de mesma área, têm o mesmo volume.

Por isso \(V=A_{\text{base}}\cdot h\) vale também no prisma oblíquo, desde que \(h\) seja a altura (a distância entre as bases), e não a aresta lateral inclinada.

Base hexagonal regular

O hexágono regular de lado \(\ell\) são seis triângulos equiláteros: \(A_{\text{base}}=6\cdot\frac{\ell^2\sqrt3}{4}=\frac{3\ell^2\sqrt3}{2}\). Com \(\ell=2\) cm e altura 10 cm:

\[V=\frac{3\cdot4\sqrt3}{2}\cdot10=60\sqrt3\approx104\ \text{cm}^3\]

Mesmas placas, mesma altura: mesmo volume, com a pilha reta ou inclinada.

Quanto sobe a água? O objeto submerso ocupa o lugar de um volume igual de água, que só pode subir. Num tanque de fundo 40 cm × 30 cm, um objeto de 2 400 cm³ faz o nível subir \(\frac{2\,400}{1\,200}=2\) cm.

ENEM 2012 · Questão 158 Fácil–média

O nível do tanque

Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um processo de resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento, como mostrado na figura.

Tanque em forma de paralelepípedo com 40 cm de comprimento, 30 cm de largura e 25 cm de altura; a água está 5 cm abaixo da borda.

O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de 2 400 cm³?

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O objeto empurra para cima um volume de água igual ao seu. Divida esse volume pela área do fundo do tanque.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: quantos centímetros o nível sobe e se cabe antes da borda.
ESTRUTURAR
- Fundo: 40 cm × 30 cm.
- Altura do tanque: 25 cm; água a 5 cm da borda (20 cm).
- Objeto: 2 400 cm³.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Dividir o volume do objeto pela área do fundo e comparar com a folga de 5 cm.
A armadilha: achar que a água vai transbordar (alternativa D) sem fazer a conta; a folga de 5 cm comporta \(1\,200 \cdot 5 = 6\,000\) cm³, mais que os 2 400 cm³ do objeto.
CALCULAR
\[A = 40 \cdot 30 = 1\,200 \text{ cm}^2\]
\[h = \frac{2\,400}{1\,200} = 2 \text{ cm}\]
\[20 + 2 = 22 \text{ cm}\]
CONFERIR
\(1\,200 \cdot 2 = 2\,400\) cm³ ✓; 22 cm é menor que os 25 cm do tanque, então não transborda ✓.

Resposta: C

Leve para outras questões: em recipiente de paredes retas, subida do nível é volume colocado dividido pela área do fundo.

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ENEM 2025 · Questão 170 Média

Garrafas na caixa de descarga

Uma caixa de descarga, acoplada a um vaso sanitário, tem a forma de paralelepípedo reto retângulo cujas dimensões internas da base são 2,5 dm e 1,5 dm. Nessa caixa há uma boia que interrompe o abastecimento quando a altura da coluna de água atinge 2 dm, conforme a figura.

Duas figuras da caixa de descarga, um paralelepípedo com base de 2,5 dm por 1,5 dm. Na primeira, a caixa está enchendo e a boia está abaixada. Na segunda, a água atinge a altura de 2 dm e a boia, levantada, interrompe o abastecimento.

A cada acionamento da descarga, todo o volume de água contida na caixa é despejado no vaso. Para reduzir o volume de água despejado a cada acionamento, uma pessoa colocará, no interior dessa caixa, garrafas de 300 mL, cheias de areia e tampadas, de modo a ficarem submersas quando o abastecimento for interrompido.

Para garantir o funcionamento eficiente, o mínimo de água despejada a cada acionamento deve ser de 5 L.

A quantidade máxima de garrafas que serão colocadas nessa caixa, garantindo um funcionamento eficiente, é igual a

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Quantos litros cabem na caixa até a boia fechar? Lembre que 1 decímetro cúbico é 1 litro.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: quantas garrafas de 0,3 L cabem na caixa sem que a água despejada fique abaixo de 5 L.
A boia fecha sempre quando o nível chega a 2 dm, com ou sem garrafas. As garrafas ocupam espaço abaixo desse nível, então sobra menos água.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular o volume até 2 dm, ver quanto espaço as garrafas podem ocupar mantendo 5 L de água e dividir por 0,3 L.
A armadilha: arredondar para cima. Não existe um terço de garrafa, e 9 garrafas deixariam menos de 5 L.
CALCULAR
\[V = 2{,}5 \times 1{,}5 \times 2 = 7{,}5 \text{ dm}^3 = 7{,}5 \text{ L}\]
\[7{,}5 - 5 = 2{,}5 \text{ L} \quad \text{(espaço que as garrafas podem ocupar)}\]
\[2{,}5 \div 0{,}3 \approx 8{,}33 \;\Rightarrow\; \text{no máximo } 8 \text{ garrafas}\]
CONFERIR
Com 8 garrafas: \(7{,}5 - 8 \times 0{,}3 = 5{,}1\) L, acima de 5 ✓. Com 9 garrafas: \(7{,}5 - 2{,}7 = 4{,}8\) L, abaixo de 5.

Resposta: B

Leve para outras questões: em problema de quantidade máxima, a divisão quase nunca dá um número inteiro. Arredonde para baixo e confira o número seguinte.

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ENEM 2014 · Questão 142 Média

O silo de base trapezoidal

Na alimentação de gado de corte, o processo de cortar a forragem, colocá-la no solo, compactá-la e protegê-la com uma vedação denomina-se silagem. Os silos mais comuns são os horizontais, cuja forma é a de um prisma reto trapezoidal, conforme mostrado na figura.

Silo horizontal em forma de prisma reto de base trapezoidal, com legenda: b é a largura do fundo, B é a largura do topo, C é o comprimento do silo e h é a altura do silo.

Considere um silo de 2 m de altura, 6 m de largura de topo e 20 m de comprimento. Para cada metro de altura do silo, a largura do topo tem 0,5 m a mais do que a largura do fundo. Após a silagem, 1 tonelada de forragem ocupa 2 m³ desse tipo de silo.

EMBRAPA. Gado de corte. Disponível em: www.cnpgc.embrapa.br. Acesso em: 1 ago. 2012 (adaptado).

Após a silagem, a quantidade máxima de forragem que cabe no silo, em toneladas, é

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Com 2 m de altura, o topo tem 2 × 0,5 = 1 m a mais que o fundo. Ache o fundo, calcule a área do trapézio, multiplique pelo comprimento e divida por 2 m³ por tonelada.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o volume do silo e quantas toneladas cabem nele.
ESTRUTURAR
- h = 2 m, B = 6 m, C = 20 m.
- B = b + 0,5 por metro de altura.
- 1 t ocupa 2 m³.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Achar b, calcular o volume e converter em toneladas.
A armadilha: parar no volume, 220 (alternativa D), sem dividir pelos 2 m³ que cada tonelada ocupa.
CALCULAR
\[b = 6 - 2 \cdot 0{,}5 = 5\ \text{m}\]
\[A = \frac{(6 + 5) \cdot 2}{2} = 11\ \text{m}^2 \qquad V = 11 \cdot 20 = 220\ \text{m}^3\]
\[\frac{220}{2} = 110\ \text{t}\]
CONFERIR
\(110 \cdot 2 = 220\) m³, o volume do silo ✓.

Seção do silo: trapézio com base de topo B = 6 m, base do fundo b = 6 menos 2 vezes 0,5 = 5 m e altura h = 2 m. Área = (6 + 5) vezes 2 dividido por 2 = 11 m². Volume = 11 vezes 20 = 220 m³. Como 1 tonelada ocupa 2 m³, cabem 220 dividido por 2 = 110 toneladas.

Resposta: A

Leve para outras questões: o último passo costuma ser uma conversão (aqui, m³ para toneladas); confira a unidade pedida.

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3 · ÁREA E PLANIFICAÇÃO

Área é a soma das faces. Abra a caixa e conte.

\[A_{\text{total}}=2\cdot A_{\text{base}}+A_{\text{lateral}}\]

A área lateral é a soma das faces laterais. No prisma reto, ela é o perímetro da base vezes a altura.

PARALELEPÍPEDO\(A=2(ab+ac+bc)\): três pares de faces iguais.
CUBO\(A=6a^2\).

Leia quais faces entram. Piscina e caixa sem tampa não têm a face de cima. Parede pintada dos dois lados conta duas vezes. Piso pode ter outro material.

Seis faces, em três pares iguais.

O caminho mais curto pela superfície

Uma formiga está num canto de baixo de um cubo de 4 cm de aresta e quer chegar ao canto de cima mais distante, andando só pela superfície. Pelas arestas, são \(4+4+4=12\) cm. Pela diagonal do cubo, \(4\sqrt3\approx6{,}9\) cm, mas ela não atravessa o sólido.

O truque é planificar: abra as duas faces que ela cruza até ficarem no mesmo plano. Elas formam um retângulo de 8 cm × 4 cm, e o caminho mais curto é a reta entre os dois cantos:

\[d=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}=4\sqrt5\approx8{,}9\ \text{cm}\]

Em caixas com arestas diferentes há mais de um jeito de abrir as faces. Teste os jeitos possíveis e fique com o menor.

Abertas no plano, as duas faces viram um retângulo de 8 × 4, e o menor caminho é a reta.

ENEM 2022 · Questão 172 Média

A piscina com menos revestimento

Um casal planeja construir em sua chácara uma piscina com o formato de um paralelepípedo reto retângulo com capacidade para 90 000 L de água. O casal contratou uma empresa de construções que apresentou cinco projetos com diferentes combinações nas dimensões internas de profundidade, largura e comprimento. A piscina a ser construída terá revestimento interno em suas paredes e fundo com uma mesma cerâmica, e o casal irá escolher o projeto que exija a menor área de revestimento.

As dimensões internas de profundidade, largura e comprimento, respectivamente, para cada um dos projetos, são:

projeto I: 1,8 m, 2,0 m e 25,0 m;
projeto II: 2,0 m, 5,0 m e 9,0 m;
projeto III: 1,0 m, 6,0 m e 15,0 m;
projeto IV: 1,5 m, 15,0 m e 4,0 m;
projeto V: 2,5 m, 3,0 m e 12,0 m.

O projeto que o casal deverá escolher será o

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A piscina não tem tampa: o revestimento cobre o fundo e as quatro paredes. Calcule fundo + paredes para cada projeto; todos têm o mesmo volume, 90 m³.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: qual projeto tem a menor soma da área do fundo com a área das paredes.
ESTRUTURAR
• Revestimento: \(A = l \cdot c + 2p(l + c)\), com p a profundidade, l a largura e c o comprimento.
• Todos os projetos têm volume de 90 m³ (90 000 L).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular A para os cinco projetos e comparar.
A armadilha: somar as 6 faces, como se a piscina tivesse tampa. Outro tropeço é escolher pelo menor fundo ou pela menor profundidade, sem fazer a conta completa.
CALCULAR
\[\text{I: } 2 \cdot 25 + 2 \cdot 1{,}8 \cdot 27 = 50 + 97{,}2 = 147{,}2 \text{ m}^2\]
\[\text{II: } 5 \cdot 9 + 2 \cdot 2 \cdot 14 = 45 + 56 = 101 \text{ m}^2\]
\[\text{III: } 6 \cdot 15 + 2 \cdot 1 \cdot 21 = 90 + 42 = 132 \text{ m}^2\]
\[\text{IV: } 15 \cdot 4 + 2 \cdot 1{,}5 \cdot 19 = 60 + 57 = 117 \text{ m}^2\]
\[\text{V: } 3 \cdot 12 + 2 \cdot 2{,}5 \cdot 15 = 36 + 75 = 111 \text{ m}^2\]
CONFERIR
O projeto II, com medidas mais "equilibradas" (2 m, 5 m e 9 m), gasta menos revestimento. Formas muito alongadas, como a do projeto I, gastam mais para o mesmo volume.

Resposta: B

Leve para outras questões: para o mesmo volume, quanto mais "compacta" a caixa, menor a área. Em piscinas e caixas sem tampa, lembre de tirar a face de cima.

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4 · DIAGONAL

A diagonal do bloco é Pitágoras duas vezes.

No fundo do bloco, a diagonal da base mede \(d=\sqrt{a^2+b^2}\). Ela e a altura \(c\) formam outro triângulo retângulo, cuja hipotenusa é a diagonal do bloco:

\[D=\sqrt{d^2+c^2}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\]

No cubo de aresta \(a\): \(D=a\sqrt3\). Bloco de 2, 3 e 6: \(D=\sqrt{4+9+36}=7\).

É a diagonal que diz se uma vara cabe inteira dentro de uma caixa fechada.

Exemplo. Um baú mede 30 cm × 40 cm × 120 cm. A diagonal do fundo é \(\sqrt{30^2+40^2}=50\) cm, e a do baú é \(\sqrt{50^2+120^2}=130\) cm. Uma vara de 1,3 m cabe exatamente, deitada de um canto ao outro; uma de 1,4 m não cabe de jeito nenhum.

Primeiro a diagonal do fundo, depois a do bloco.

5 · QUANDO AS MEDIDAS MUDAM

Multiplique cada medida que mudou, e só ela.

Se todas as arestas são multiplicadas por \(k\), as áreas ficam multiplicadas por \(k^2\) e o volume por \(k^3\). Dobrar a aresta de um cubo multiplica o volume por 8.

Se só algumas medidas mudam, faça a conta por partes. Dobrando comprimento e largura e mantendo a altura:

\[V=(2a)(2b)c=4abc\qquad\text{piso}=(2a)(2b)=4ab\qquad\text{paredes}\times2\]

Encolher 10% em cada dimensão deixa cada aresta com 90%, e o volume com \(0{,}9^3=0{,}729\) do original: diminui 27,1%, e não 10% nem 30%.

Para manter o volume, o que cresce numa medida tem de diminuir nas outras: base 25% maior em cada lado multiplica a área da base por \(1{,}25^2=1{,}5625\), então a altura fica dividida por 1,5625.

ENEM 2014 · Questão 177 Média

Os dois cubos do depósito

Um fazendeiro tem um depósito para armazenar leite formado por duas partes cúbicas que se comunicam, como indicado na figura. A aresta da parte cúbica de baixo tem medida igual ao dobro da medida da aresta da parte cúbica de cima. A torneira utilizada para encher o depósito tem vazão constante e levou 8 minutos para encher metade da parte de baixo.

Depósito formado por dois cubos que se comunicam: um cubo pequeno em cima de um cubo grande; o cubo de baixo está cheio até a metade.

Quantos minutos essa torneira levará para encher completamente o restante do depósito?

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Se a aresta dobra, o volume fica 8 vezes maior. Chame de 1 o volume do cubo de cima: o de baixo vale 8, e metade dele vale 4.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o tempo para encher a outra metade do cubo de baixo mais o cubo de cima.
ESTRUTURAR
- Aresta de baixo = 2 × aresta de cima.
- Metade do cubo de baixo: 8 minutos.
- Vazão constante.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Medir os volumes em "cubos pequenos" e usar a proporção com o tempo.
A armadilha: achar que aresta pela metade dá volume pela metade. Aí o cubo de cima levaria 16 minutos e o restante, \(8 + 16 = 24\) (alternativa E). O volume cai para um oitavo.
CALCULAR
Volume de cima: 1. Volume de baixo: 8. Metade de baixo: 4, em 8 minutos.
\[\text{1 unidade} = 8 \div 4 = 2\ \text{minutos}\]
\[\text{restante} = 4 + 1 = 5\ \text{unidades} \Rightarrow 5 \cdot 2 = 10\ \text{minutos}\]
CONFERIR
Total do depósito: 9 unidades, \(9 \cdot 2 = 18\) minutos; já se passaram 8, faltam \(18 - 8 = 10\) ✓.

Resposta: B

Leve para outras questões: em sólidos semelhantes, o volume muda pelo cubo da razão entre as arestas.

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ENEM 2012 · Questão 180 Média

A cerâmica que encolhe

A cerâmica possui a propriedade da contração, que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico submetido a uma determinada temperatura elevada: em seu lugar aparecendo “espaços vazios” que tendem a se aproximar. No lugar antes ocupado pela água vão ficando lacunas e, consequentemente, o conjunto tende a retrair-se. Considere que no processo de cozimento a cerâmica de argila sofra uma contração, em dimensões lineares, de 20%.

Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 30 mar. 2012 (adaptado).

Levando em consideração o processo de cozimento e a contração sofrida, o volume V de uma travessa de argila, de forma cúbica de aresta a, diminui para um valor que é

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A aresta passa a ser 0,8a. Calcule o novo volume, (0,8a) ao cubo, e compare com a ao cubo.

Ver resolução

INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: de quanto por cento o volume diminui quando cada aresta perde 20%.
ESTRUTURAR
• Cubo de aresta a, volume \(a^3\).
• Contração linear de 20%: aresta 0,8a.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Elevar o fator 0,8 ao cubo e calcular a redução.
A armadilha: confundir o volume que sobra, 51,2% de V, com a redução, escolhendo "51,2% menor" (alternativa D).
CALCULAR
\[(0{,}8a)^3 = 0{,}512\,a^3 = 0{,}512\,V\]
\[1 - 0{,}512 = 0{,}488 = 48{,}8\%\]
CONFERIR
Com \(a = 10\): \(V = 1\,000\) e o novo cubo tem aresta 8 e volume 512; a perda é \(488\), ou 48,8% ✓.

Cubo de aresta a ao lado do cubo de aresta 0,8a. O novo volume é 0,8 ao cubo vezes o original, 0,512 V, ou seja, 51,2% de V; a redução é de 48,8%.

Resposta: C

Leve para outras questões: um fator k nas medidas lineares vira k ao quadrado nas áreas e k ao cubo nos volumes.

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ENEM 2021 · Questão 166 Média

O contêiner com o dobro da base

O projeto de um contêiner, em forma de paralelepípedo reto retangular, previa a pintura dos dois lados (interno e externo) de cada uma das quatro paredes com tinta acrílica e a pintura do piso interno com tinta epóxi. O construtor havia pedido, a cinco fornecedores diferentes, orçamentos das tintas necessárias, mas, antes de iniciar a obra, resolveu mudar o projeto original, alterando o comprimento e a largura para o dobro do originalmente previsto, mantendo inalterada a altura. Ao pedir novos orçamentos aos fornecedores, para as novas dimensões, cada um deu uma resposta diferente sobre as novas quantidades de tinta necessárias.

Em relação ao previsto para o projeto original, as novas quantidades de tinta necessárias informadas pelos fornecedores foram as seguintes:

Fornecedor I: "O dobro, tanto para as paredes quanto para o piso."
Fornecedor II: "O dobro para as paredes e quatro vezes para o piso."
Fornecedor III: "Quatro vezes, tanto para as paredes quanto para o piso."
Fornecedor IV: "Quatro vezes para as paredes e o dobro para o piso."
Fornecedor V: "Oito vezes para as paredes e quatro vezes para o piso."

Analisando as informações dos fornecedores, o construtor providenciará a quantidade adequada de material. Considere a porta de acesso do contêiner como parte de uma das paredes.

Qual dos fornecedores prestou as informações adequadas, devendo ser o escolhido pelo construtor para a aquisição do material?

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A tinta é proporcional à área. Cada parede tem área (comprimento ou largura) × altura; o piso tem comprimento × largura.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: por quanto se multiplicam a área das paredes e a área do piso quando comprimento e largura dobram e a altura fica igual.
ESTRUTURAR
Com comprimento c, largura l e altura h:
• Paredes (um lado): \(2ch + 2lh = 2h(c + l)\).
• Piso: \(c \cdot l\).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Trocar c por 2c e l por 2l nas duas áreas.
A armadilha: aplicar o mesmo fator às paredes e ao piso (alternativas A e C), ou pensar em volume e dizer oito vezes (alternativa E). Nas paredes só uma das dimensões de cada retângulo dobra.
CALCULAR
\[\text{paredes}: 2h(2c + 2l) = 2 \cdot [2h(c + l)]\]
\[\text{piso}: (2c)(2l) = 4cl\]
CONFERIR
Exemplo: contêiner de 6 m por 2 m com 2 m de altura. Paredes: \(2 \cdot 2 \cdot 8 = 32\) m², piso 12 m². Com 12 m por 4 m: paredes \(2 \cdot 2 \cdot 16 = 64\) m² (o dobro) e piso 48 m² (o quádruplo).

Resposta: B

Leve para outras questões: o fator de uma área depende de quantas das suas dimensões mudaram. Uma dimensão dobrada dobra a área; duas dimensões dobradas a quadruplicam.

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6 · ARMADILHAS DE PROVA

Os cinco erros que mais derrubam questão de prisma.

Esquecer de converter para litros. 1 dm³ = 1 L e 1 m³ = 1 000 L. Veja na questão de 2025.
Somar o volume do objeto à altura. O que sobe é volume ÷ área do fundo. Veja na questão de 2012.
Usar a largura do topo como base do trapézio inteiro. A base do silo é um trapézio: calcule as duas larguras. Veja na questão de 2014.
Contar a tampa que não existe. Piscina tem fundo e quatro paredes. Veja na questão de 2022.
Achar que o volume muda na mesma razão da aresta. Aresta × 2 dá volume × 8; aresta × 0,8 dá volume × 0,512. Veja na questão de 2014 e na de 2012.

7 · DESAFIO

Um petroleiro com compartimentos que se comunicam por cima.

O volume que vaza não é só o de um compartimento: é preciso enxergar o que passa por cima das placas. Clique numa alternativa para conferir. A resolução segue os 5 passos: interpretar, estruturar, escolher a estratégia, calcular e conferir.

ENEM 2016 · Questão 161 Difícil

O vazamento do petroleiro

Um petroleiro possui reservatório em formato de um paralelepípedo retangular com as dimensões dadas por 60 m x 10 m de base e 10 m de altura. Com o objetivo de minimizar o impacto ambiental de um eventual vazamento, esse reservatório é subdividido em três compartimentos, A, B e C, de mesmo volume, por duas placas de aço retangulares com dimensões de 7 m de altura e 10 m de base, de modo que os compartimentos são interligados, conforme a figura. Assim, caso haja rompimento no casco do reservatório, apenas uma parte de sua carga vazará.

Reservatório em forma de bloco de 60 m de comprimento, 10 m de largura e 10 m de altura, dividido em três compartimentos A, B e C por duas placas de 7 m de altura, mais baixas que o teto.

Suponha que ocorra um desastre quando o petroleiro se encontra com sua carga máxima: ele sofre um acidente que ocasiona um furo no fundo do compartimento C.

Para fins de cálculo, considere desprezíveis as espessuras das placas divisórias.

Após o fim do vazamento, o volume de petróleo derramado terá sido de

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O compartimento C esvazia todo. E o petróleo de A e B que fica acima de 7 m? Ele passa por cima das placas e também cai em C.

Ver resolução

INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o volume todo de C mais a camada de A e B que fica acima da altura das placas.
ESTRUTURAR
- Reservatório: 60 m × 10 m × 10 m, cheio.
- Compartimentos de 20 m × 10 m.
- Placas de 7 m de altura.
- Furo no fundo de C.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Somar o volume de C com a faixa de 3 m acima das placas em A e B.
A armadilha: contar só o compartimento C, \(20 \cdot 10 \cdot 10 = 2\,000\ \text{m}^3\) (alternativa C). Os compartimentos são interligados por cima das placas.
CALCULAR
\[V_C = 20 \cdot 10 \cdot 10 = 2\,000\ \text{m}^3\]
\[V_{A + B,\ \text{acima de 7 m}} = 40 \cdot 10 \cdot 3 = 1\,200\ \text{m}^3\]
\[V = 2\,000 + 1\,200 = 3\,200 = 3{,}2 \times 10^3\ \text{m}^3\]
CONFERIR
Ficam em A e B \(40 \cdot 10 \cdot 7 = 2\,800\ \text{m}^3\). Total \(2\,800 + 3\,200 = 6\,000 = 60 \cdot 10 \cdot 10\) ✓.

Corte lateral do reservatório. Os compartimentos A e B ficam com petróleo até 7 m, a altura das placas. Vazam o compartimento C inteiro, 20 por 10 por 10, igual a 2 000 metros cúbicos, e a faixa de 3 m acima das placas em A e B, 40 por 10 por 3, igual a 1 200. Total vazado: 3 200 metros cúbicos.

Resposta: D

Leve para outras questões: em recipientes ligados por cima de uma divisória, o líquido acima dela se move livremente; abaixo, fica preso.

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8 · TREINO RÁPIDO

Dez contas para fixar, com resposta.

Faça no papel antes de abrir a resposta. Se errar mais de duas, volte à seção correspondente.

1
Um paralelepípedo mede 5 cm × 4 cm × 3 cm. Quais são o volume e a área total?
Ver resposta
\(V=60\) cm³ e \(A=2(20+15+12)=94\) cm².
2
Um cubo tem aresta 4 cm. Quais são o volume, a área total e a diagonal?
Ver resposta
\(V=64\) cm³, \(A=96\) cm², \(D=4\sqrt3\approx6{,}93\) cm.
3
Um prisma reto tem base triangular de área 18 cm² e altura 7 cm. Qual é o volume?
Ver resposta
\(18\cdot7=126\) cm³.
4
Uma caixa mede 50 cm × 40 cm × 30 cm. Quantos litros cabem nela?
Ver resposta
\(60\,000\) cm³ = 60 dm³ = 60 L.
5
Um tanque tem fundo de 2 m × 1,5 m. Uma pedra de 0,6 m³ é afundada nele, sem transbordar. Quanto sobe a água?
Ver resposta
\(\frac{0{,}6}{3}=0{,}2\) m = 20 cm.
6
Qual é a diagonal de um bloco de arestas 2, 3 e 6?
Ver resposta
\(\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7\).
7
Um prisma hexagonal regular tem aresta da base 2 cm e altura 10 cm. Qual é o volume? Use \(\sqrt3\approx1{,}73\).
Ver resposta
Base: 6 triângulos equiláteros de lado 2, \(6\cdot\sqrt3=6\sqrt3\). \(V=60\sqrt3\approx103{,}8\) cm³.
8
A aresta de um cubo triplica. Por quanto ficam multiplicados a área e o volume?
Ver resposta
Área por 9; volume por 27.
9
Uma piscina sem tampa mede 8 m × 4 m × 1,5 m. Qual é a área a revestir e quantos litros ela comporta?
Ver resposta
Fundo 32 m² + paredes \(2\cdot1{,}5\cdot(8+4)=36\) m² = 68 m². Volume 48 m³ = 48 000 L.
10
Quantos copos de 250 mL enchem uma caixa de 2 dm³?
Ver resposta
2 dm³ = 2 L = 2 000 mL; \(2\,000\div250=8\) copos.

RESUMO PARA REVISAR

Prismas em seis linhas.

Volume: \(V=A_{\text{base}}\cdot h\). Bloco: \(abc\). Cubo: \(a^3\).
1 cm³ = 1 mL, 1 dm³ = 1 L, 1 m³ = 1 000 L.
Objeto afundado: a água sobe volume ÷ área do fundo.
Área: \(2A_{\text{base}}+A_{\text{lateral}}\). Bloco: \(2(ab+ac+bc)\). Leia quais faces entram.
Diagonal do bloco: \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\). Cubo: \(a\sqrt3\).
Todas as arestas × \(k\): área × \(k^2\), volume × \(k^3\).

Treinar prismas no Banco Ver Geometria espacial

Um prisma é uma base que se repete ao longo da altura.

Duas bases iguais e paralelas, ligadas por faces laterais.

Contando vértices, arestas e faces

Volume é a área da base vezes a altura.

Prisma oblíquo: mesmo volume do reto

Base hexagonal regular

Área é a soma das faces. Abra a caixa e conte.

O caminho mais curto pela superfície

A diagonal do bloco é Pitágoras duas vezes.

Multiplique cada medida que mudou, e só ela.

Os cinco erros que mais derrubam questão de prisma.

Um petroleiro com compartimentos que se comunicam por cima.

Dez contas para fixar, com resposta.

Prismas em seis linhas.