A elipse de equação \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1 está esboçada na imagem a seguir.
A área do quadrilátero ABCD é
UFRGS · 2019
Questão 45 — UFRGS 2019
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Os pontos estão nos eixos: faça x = 0 para achar A e C e y = 0 para achar B e D. O quadrilátero é um losango.
Resolução
O que você precisa saber
- Em x²/a² + y²/b² = 1, a elipse corta os eixos em ±a e ±b.
- A área do losango é o produto das diagonais dividido por 2.
- Os denominadores da equação são os quadrados dos semieixos.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a área do losango com vértices nos pontos onde a elipse corta os eixos.
ESTRUTURAR
• y = 0: x^2 = 4, B = (2, 0) e D = (-2, 0).
• x = 0: y^2 = 9, A = (0, 3) e C = (0, -3).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular as diagonais e a área do losango.
A armadilha: usar os denominadores 4 e 9 como semieixos. Eles são os quadrados dos semieixos.
CALCULAR
Diagonais: BD = 4 e AC = 6.
[ABCD] = \frac{4 \cdot 6}{2} = 12CONFERIR
Os eixos dividem o losango em 4 triângulos retângulos de catetos 2 e 3: 4 \cdot \frac{2 \cdot 3}{2} = 12 ✓.
Por que as outras tentam: 24 esquece de dividir por 2; 4 e 9 são os denominadores da equação; 36 vem de usar 4 e 9 como diagonais sem dividir por 2.
Resposta
12.
Alternativa correta
C