Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Considere os pontos A, B e C, de coordenadas inteiras, que determinam os vértices do triângulo ABC, representado no sistema de coordenadas cartesianas abaixo.
A revolução do triângulo ABC, em torno do eixo x, gera o sólido P, e a revolução do triângulo ABC, em torno do eixo y, gera o sólido Q.
A razão entre os volumes de P e Q é
O triângulo ABC é o triângulo OAC menos o triângulo OAB, com O na origem. Cada triângulo retângulo gira e vira um cone.
O que a questão quer de verdade: escrever cada sólido como diferença de dois cones e comparar os volumes.
A(0, 6), B(2, 0), C(4, 0). Em torno do eixo x: raio 6 (OA), alturas 4 e 2. Em torno do eixo y: altura 6, raios 4 e 2.
Calcular P e Q separadamente.
A armadilha: achar que girar em torno de eixos diferentes sempre dá volumes diferentes, e ir para 2/3 ou 3/2.
Pelo teorema de Pappus: área de ABC = \tfrac{2 \cdot 6}{2} = 6; centroide \left(2, 2\right). P = 2\pi \cdot 2 \cdot 6 = 24\pi e Q = 2\pi \cdot 2 \cdot 6 = 24\pi ✓.
Por que as outras tentam: C (3/2) e A (2/3) comparam só os cones grandes (48\pi e 32\pi), sem subtrair os pequenos; D e E estão muito longe, porque os dois sólidos têm volumes do mesmo tamanho.
1.
