Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Considere um triângulo equilátero ABC de lado 1.
O volume do sólido obtido ao girar o triângulo ABC em torno da reta r que passa pelo vértice A e é paralela ao lado \overline{BC}, mantendo o paralelismo da reta r com o lado \overline{BC} do triângulo, é
O lado BC gira e forma a lateral de um cilindro. O sólido é esse cilindro sem os dois cones que os lados AB e AC "cavam".
O que a questão quer de verdade: o volume gerado pelo triângulo, que é um cilindro menos dois cones.
• Raio: distância de A até BC, que é a altura do triângulo, \frac{\sqrt3}{2}.
• Cilindro: raio \frac{\sqrt3}{2} e altura 1.
• Cada cone: vértice em A, raio \frac{\sqrt3}{2} e altura \frac12.
Calcular o cilindro e tirar os dois cones.
A armadilha: tirar só um cone, ou parar no cilindro (\frac{3\pi}{4}) ou nos cones (\frac{\pi}{4}, alternativa C). O sólido é o espaço entre eles.
Pelo teorema de Pappus: área do triângulo \frac{\sqrt3}{4}, centro de gravidade a \frac23 \cdot \frac{\sqrt3}{2} = \frac{\sqrt3}{3} do eixo. V = 2\pi \cdot \frac{\sqrt3}{3} \cdot \frac{\sqrt3}{4} = \frac{\pi}{2} ✓.
Por que as outras tentam: \frac{\pi}{4} é o volume dos dois cones, a parte que sai. 2\pi e \frac{3\pi}{2} passam do volume do cilindro que envolve o sólido (\frac{3\pi}{4}), então são impossíveis.
\frac{\pi}{2}.
