Considere um octaedro regular cujos vértices são os pontos médios das arestas de um tetraedro regular de aresta 2, conforme a figura abaixo.
O volume do octaedro é
UFRGS · 2022
Questão 54 — UFRGS 2022
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
O octaedro é o que sobra do tetraedro grande quando se cortam os quatro cantos. Cada canto é um tetraedro regular de aresta 1.
Resolução
O que você precisa saber
- O volume do tetraedro regular de aresta ℓ é ℓ³√2 ÷ 12.
- Unir os pontos médios das arestas divide cada aresta ao meio.
- Reduzir as medidas pela metade divide o volume por 8.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o volume do octaedro de aresta 1, que sai do tetraedro de aresta 2 menos os quatro cantos.
ESTRUTURAR
- Tetraedro grande: aresta 2.
- Cada canto cortado: tetraedro regular de aresta 1, e são 4 cantos.
- Aresta do octaedro: 1, metade de 2.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Volume do grande menos 4 cantos.
A armadilha: tirar só 3 cantos, ou pensar que o octaedro ocupa metade do tetraedro. Os quatro cantos levam metade do volume, porque cada um vale \frac18 do grande.
CALCULAR
V_{\text{grande}} = \frac{2^3\sqrt2}{12} = \frac{2\sqrt2}{3} \qquad V_{\text{canto}} = \frac{\sqrt2}{12}V = \frac{2\sqrt2}{3} - 4 \cdot \frac{\sqrt2}{12} = \frac{2\sqrt2}{3} - \frac{\sqrt2}{3} = \frac{\sqrt2}{3}CONFERIR
Pela fórmula do octaedro regular, V = \frac{\ell^3\sqrt2}{3}; com \ell = 1, V = \frac{\sqrt2}{3} ✓.
Por que as outras tentam: \frac{\sqrt2}{2} e \sqrt2 aparecem para quem usa fórmulas de volume trocadas; \frac14 e \frac12 vêm de "chutar" uma fração do tetraedro.
Resposta
\frac{\sqrt{2}}{3}.
Alternativa correta
C