Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de lado a e AB e BD são arcos de circunferência.
A área da região sombreada é
UFRGS · 2022
Questão 53 — UFRGS 2022
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
A diagonal AC passa pelo ponto mais alto do semicírculo. Calcule as duas partes sombreadas separadamente, cada uma como "setor menos o que não é sombreado".
Resolução
O que você precisa saber
- Setor de ângulo θ (em graus) e raio r tem área (θ ÷ 360) · πr².
- Segmento circular é o setor menos o triângulo formado pelos dois raios.
- A diagonal do quadrado faz 45° com o lado.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a soma das áreas das duas regiões sombreadas, separadas pela diagonal.
ESTRUTURAR
• Semicírculo: centro O no meio de AB, raio \frac a2. A diagonal corta o semicírculo no ponto T, o mais alto dele, e OT é vertical.
• Arco BD: centro A, raio a.
• Parte da esquerda: segmento circular de 90° no semicírculo.
• Parte da direita: setor de 45° de centro A, menos o triângulo AOT e o quarto de círculo OTB.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular cada parte com setores e triângulos e somar.
A armadilha: parar na parte da esquerda, que vale \frac{a^2}{16}(\pi - 2), alternativa B. Ela é só metade da região sombreada.
CALCULAR
Parte da esquerda:
\frac{\pi (a/2)^2}{4} - \frac{(a/2)^2}{2} = \frac{\pi a^2}{16} - \frac{a^2}{8} = \frac{a^2}{16}(\pi - 2)Parte da direita:
\frac{\pi a^2}{8} - \frac{a^2}{8} - \frac{\pi a^2}{16} = \frac{a^2}{16}(\pi - 2)Total:
\frac{a^2}{16}(\pi - 2) \cdot 2 = \frac{a^2}{8}(\pi - 2)CONFERIR
Com a = 4: total 2(\pi - 2) \approx 2{,}28, cerca de 14% do quadrado de área 16, o que combina com o tamanho das duas regiões na figura ✓.
Por que as outras tentam: B é só uma das duas partes, e D é o dobro do resultado certo. A e C aparecem para quem subtrai a área do triângulo pela metade.
Resposta
\frac{a^2}{8}(\pi - 2).
Alternativa correta
E