Na figura abaixo, há três quadrados de lados 9, 6 e x justapostos; os vértices A, B, C e D são colineares; os vértices A, E, F, G e H são colineares.
A soma das áreas dos três quadrados é
UFRGS · 2022
Questão 52 — UFRGS 2022
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
D, C e B estão na mesma reta que passa por A. Então altura dividida pela distância até A é a mesma para os três pontos.
Resolução
O que você precisa saber
- Pontos de uma mesma reta formam triângulos semelhantes com a horizontal.
- Em triângulos semelhantes, a razão entre altura e base se mantém.
- A área do quadrado é o lado ao quadrado.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: descobrir x pela semelhança e somar 81 + 36 + x^2.
ESTRUTURAR
Os triângulos com vértice A e alturas GD = 9, FC = 6 e EB = x são semelhantes:
\frac{9}{AG} = \frac{6}{AF} = \frac{x}{AE}com AG = AF + 6 e AF = AE + x.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Usar os dois primeiros quadrados para achar AF; depois o terceiro dá x.
A armadilha: supor que os lados formam uma progressão aritmética (9, 6, 3) e marcar 81 + 36 + 9 = 126, alternativa C. A reta impõe uma razão constante, não uma diferença constante.
CALCULAR
\frac{9}{AF + 6} = \frac{6}{AF} \Rightarrow 9\,AF = 6\,AF + 36 \Rightarrow AF = 12\frac{x}{12 - x} = \frac{6}{12} \Rightarrow 12x = 72 - 6x \Rightarrow x = 481 + 36 + 16 = 133CONFERIR
Os lados 9, 6 e 4 formam uma progressão geométrica de razão \frac23, como deve acontecer com quadrados encaixados sob a mesma reta ✓. Inclinação: \frac{9}{18} = \frac{6}{12} = \frac{4}{8} = \frac12 ✓.
Por que as outras tentam: 126 vem da progressão aritmética 9, 6, 3. 76 é a soma dos perímetros, 4 \cdot (9 + 6 + 4), e 38 é metade disso: quem confunde área com perímetro cai nelas.
Resposta
133.
Alternativa correta
D