Observe os discos de raios 2 e 4, tangentes entre si e às semirretas s e t, representados na figura abaixo.
A distância entre os pontos P e Q é
UFRGS · 2012
Questão 40 — UFRGS 2012
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Os centros estão na bissetriz do ângulo. Os raios até a reta t formam dois triângulos retângulos semelhantes com vértice em P.
Resolução
O que você precisa saber
- O centro de um círculo tangente aos dois lados de um ângulo está na bissetriz.
- O raio no ponto de tangência é perpendicular à reta.
- Discos tangentes: a distância entre centros é a soma dos raios.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: montar a proporção entre os dois triângulos retângulos.
ESTRUTURAR
Seja O o centro do disco menor e PO = x. Então PQ = x + 2 + 4 = x + 6.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Semelhança: \dfrac{PO}{2} = \dfrac{PQ}{4}.
A armadilha: somar só os raios e os diâmetros a partir de P, sem usar a semelhança.
CALCULAR
\frac{x}{2} = \frac{x + 6}{4} \ \Rightarrow\ 4x = 2x + 12 \ \Rightarrow\ x = 6 \qquad PQ = 12CONFERIR
A razão dos raios é 4/2 = 2, e PQ/PO = 12/6 = 2 ✓. Além disso, o seno do meio ângulo é \tfrac26 = \tfrac{4}{12} = \tfrac13 nos dois triângulos ✓.
Por que as outras tentam: B (10) é PO + 4, para quem soma ao PO só o raio do disco maior e esquece o raio 2 entre O e o ponto de contato.
Resposta
12.
Alternativa correta
D