Se \alpha é um arco do primeiro quadrante tal que \operatorname{sen}(\alpha) = \frac35, então \operatorname{sen}(2\alpha) é igual a
UFRGS · 2022
Questão 51 — UFRGS 2022
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
\operatorname{sen}(2\alpha) = 2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha. Ache o cosseno pela relação fundamental; no primeiro quadrante ele é positivo.
Resolução
O que você precisa saber
- sen(2α) = 2 · sen α · cos α.
- sen² α + cos² α = 1.
- Seno nunca passa de 1.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o seno do dobro do arco, e não o dobro do seno.
ESTRUTURAR
• \operatorname{sen}\alpha = \frac35.
• Primeiro quadrante: \cos\alpha > 0.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Achar \cos\alpha e aplicar a fórmula do arco duplo.
A armadilha: fazer 2 \cdot \frac35 = \frac65, alternativa C. Seno maior que 1 não existe.
CALCULAR
\cos\alpha = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac45\operatorname{sen}(2\alpha) = 2 \cdot \frac35 \cdot \frac45 = \frac{24}{25}CONFERIR
\frac{24}{25} = 0{,}96, entre 0 e 1 ✓. Como \operatorname{sen}\alpha = 0{,}6 < \operatorname{sen}45^\circ \approx 0{,}71, temos \alpha < 45^\circ, e 2\alpha fica no primeiro quadrante, onde o seno é positivo ✓.
Por que as outras tentam: \frac45 é o cosseno, \frac65 é o "dobro do seno", e \frac{25}{24} é a fração invertida.
Resposta
\frac{24}{25}.
Alternativa correta
D