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ENEM · 2023

Questão 148 — ENEM 2023

Trigonometria no triângulo retângulo Média

Antes da resolução

Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.

O mastro de uma bandeira foi instalado perpendicularmente ao solo em uma região plana. Devido aos fortes ventos, três cabos de aço, de mesmo comprimento, serão instalados para dar sustentação ao mastro. Cada cabo de aço ficará perfeitamente esticado, com uma extremidade num ponto P do mastro, a uma altura h do solo, e a outra extremidade, num ponto no chão, como mostra a figura.

Os cabos de aço formam um ângulo \alpha com o plano do chão.

Por medida de segurança, há apenas três opções de instalação:

• opção I: h = 11 m e \alpha = 30^\circ

• opção II: h = 12 m e \alpha = 45^\circ

• opção III: h = 18 m e \alpha = 60^\circ

A opção a ser escolhida é aquela em que a medida dos cabos seja a menor possível.

Qual será a medida, em metro, de cada um dos cabos a serem instalados?

(A)

\frac{22\sqrt{3}}{3}

(B)

11\sqrt{2}

(C)

12\sqrt{2}

(D)

12\sqrt{3}

(E)

Resolução

O que você precisa saber

Seno = cateto oposto dividido pela hipotenusa.
sen 30° = 1/2, sen 45° = raiz de 2 sobre 2 e sen 60° = raiz de 3 sobre 2.
Para comparar raízes, use valores aproximados: raiz de 2 ≈ 1,41 e raiz de 3 ≈ 1,73.

Figura de apoio

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: calcular o comprimento do cabo nas três opções e escolher o menor.

ESTRUTURAR

• Triângulo retângulo: mastro (cateto h), chão (outro cateto) e cabo (hipotenusa L).

• O ângulo \alpha fica no chão, de frente para o mastro.

• L = \frac{h}{\operatorname{sen} \alpha}.

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Calcular L nas três opções e comparar.

A armadilha: usar o cosseno no lugar do seno. Na opção I isso dá \frac{11}{\cos 30^\circ} = \frac{22\sqrt{3}}{3}, a alternativa A. O ângulo \alpha está no chão, então a altura h é o cateto oposto, e a razão certa é o seno.

CALCULAR

\text{I: } L = \frac{11}{\frac{1}{2}} = 22\text{II: } L = \frac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{24}{\sqrt{2}} = 12\sqrt{2} \approx 16{,}97\text{III: } L = \frac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3} \approx 20{,}78

O menor cabo é o da opção II: 12\sqrt{2} m.

CONFERIR

Na opção II o triângulo é retângulo isósceles: o pé do cabo fica a 12 m do mastro, e \sqrt{12^2 + 12^2} = 12\sqrt{2} ✓.

Resposta

12\sqrt{2} metros.

Alternativa correta C

Lendo pela Matriz do ENEMPor que esta é uma questão da H9 e como isso te ajuda a resolverAbra depois de tentar. O texto mostra a resposta.

H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.

Em palavras de salaAparecem opções (modelos, tampos, caixas, plantas) e a escolha tem que ser justificada com geometria. Você calcula ou compara a medida que decide e usa isso como argumento para escolher.

Por que é H9

Três opções de instalação são comparadas pelo comprimento do cabo, calculado por trigonometria. Usar conhecimentos geométricos para selecionar a solução é a H9.

A H9 nesta questão

O cabo é a hipotenusa e h é o cateto oposto a α, então L = h/sen α. Opção I: 22. Opção II: 12√2 ≈ 17. Opção III: 12√3 ≈ 20,8. O menor é 12√2.

O que muda na hora de resolver

A H9 pede o critério e a ferramenta certa. Antes da razão, diz qual lado é oposto ao ângulo do chão. Quem usa o cosseno chega a 22√3/3, a alternativa A.

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