H9 · Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano
Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.Competência 2: Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
Aparecem opções (modelos, tampos, caixas, plantas) e a escolha tem que ser justificada com geometria. Você calcula ou compara a medida que decide e usa isso como argumento para escolher.
Qual das opções a geometria justifica, e com qual medida eu provo isso?
Como reconhecer no enunciado
- Em 12 das 22 questões de H9 o enunciado usa deve, deverá, escolher, selecionar ou aprovar.
- As alternativas costumam ser opções concretas: "o modelo escolhido deve ser o", "a prefeitura aprovará apenas a planta da casa", "qual dos exemplares de serra copo".
- Geometria plana é o conteúdo de 12 das 22; espacial, de 6.
Uma questão lida com a H9
Tente antes de ler a explicação. Depois que você marcar, aparece a leitura com a matriz.
Uma loja comercializa cinco modelos de caixas-d'água (I, II, III, IV e V), todos em formato de cilindro reto de base circular. Os modelos II, III, IV e V têm as especificações de suas dimensões dadas em relação às dimensões do modelo I, cuja profundidade é P e área da base é A_b, como segue:
- modelo II: o dobro da profundidade e a metade da área da base do modelo I;
- modelo III: o dobro da profundidade e a metade do raio da base do modelo I;
- modelo IV: a metade da profundidade e o dobro da área da base do modelo I;
- modelo V: a metade da profundidade e o dobro do raio da base do modelo I.
Uma pessoa pretende comprar nessa loja o modelo de caixa-d'água que ofereça a maior capacidade volumétrica.
O modelo escolhido deve ser o
Lendo com a H9
São cinco propostas de caixa e a escolha precisa de um argumento geométrico: como o volume muda quando raio, área e profundidade mudam. Selecionar a proposta com conhecimento de espaço e forma é a H9.
Resolução completa no padrão RT
Volume = área da base × profundidade. Cuidado: mudar o raio muda a área pelo quadrado. Dobrar o raio quadruplica a área.
O que a questão quer de verdade: por quanto o volume de cada modelo fica multiplicado em relação ao modelo I.
• Modelo I: volume A_b \cdot P (fator 1).
• Metade do raio: área multiplicada por \frac{1}{4}. Dobro do raio: área multiplicada por 4.
Calcular o fator de cada modelo multiplicando o fator da área pelo da profundidade.
A armadilha: tratar raio como área. Quem faz isso acha que os modelos II a V têm todos o mesmo volume do modelo I.
\text{II: } \tfrac{1}{2} \cdot 2 = 1 \qquad \text{III: } \tfrac{1}{4} \cdot 2 = \tfrac{1}{2}
\text{IV: } 2 \cdot \tfrac{1}{2} = 1 \qquad \text{V: } 4 \cdot \tfrac{1}{2} = 2
O modelo V tem o dobro do volume do modelo I; os modelos I, II e IV empatam e o III tem metade. A maior capacidade é a do V.
Leve para outras questões: quando medidas mudam por um fator, o volume muda pelo produto dos fatores, e o raio sempre entra ao quadrado.
Mais duas, da mais fácil à mais difícil
A imagem apresentada na figura é uma cópia em preto e branco da tela quadrada intitulada O peixe, de Marcos Pinto, que foi colocada em uma parede para exposição e fixada nos pontos A e B.
Por um problema na fixação de um dos pontos, a tela se desprendeu, girando rente à parede. Após o giro, ela ficou posicionada como ilustrado na figura, formando um ângulo de 45° com a linha do horizonte.
Para recolocar a tela na sua posição original, deve-se girá-la, rente à parede, no menor ângulo possível inferior a 360°.
A forma de recolocar a tela na posição original, obedecendo ao que foi estabelecido, é girando-a em um ângulo de
A tela precisa voltar à posição original e as alternativas são giros possíveis. A escolha se justifica pelo ângulo da diagonal antes e depois. 39% acertaram.
Resolução completa no padrão RT
Acompanhe o canto B. Na posição original, o centro da tela fica em cima e à esquerda de B. Depois da queda, o centro fica bem embaixo de B. Que ângulo separa essas duas direções?
O que a questão quer de verdade: o menor giro em torno de B que leva a tela de volta à posição original.
- Original: A no canto de cima à esquerda, B no canto de baixo à direita.
- Depois: a tela pendurada em B, com B no canto de cima e a diagonal de B na vertical.
Comparar a direção de B até o centro da tela antes e depois e escolher o menor giro de volta.
A armadilha: achar que a tela só "tombou" um quarto de volta e marcar 90° no sentido horário (alternativa A). A diagonal de B saiu da direção de 135° e foi para a vertical para baixo: um giro de 135°.
Ângulos medidos a partir da horizontal para a direita, no sentido anti-horário, com B na origem:
\text{centro antes: } 135^\circ \qquad \text{centro depois: } 270^\circ
A queda foi um giro de 270^\circ - 135^\circ = 135^\circ no sentido anti-horário. Para voltar, o menor giro é 135° no sentido horário (o outro caminho teria 225°).
Na figura, o olho do peixe estava em cima à direita e foi para a esquerda: um giro de 135° no sentido anti-horário. Girando 135° no sentido horário, ele volta para cima à direita ✓.
Leve para outras questões: em giros de figuras, acompanhe um ponto ou uma diagonal só, meça o ângulo dela antes e depois e escolha o menor dos dois caminhos.
Um confeiteiro passou a produzir tortas em formato de cilindro circular reto, com raio da base variando entre 12 cm e 16 cm e altura de 6 cm. Essas tortas deverão ser embaladas em caixas com formato de prisma reto de base quadrada, de modo que seja possível acomodar a torta em seu interior e ainda restar pelo menos 1 cm de distância entre a torta e as superfícies internas da caixa, lateral e superior. Ele dispõe, originalmente, de caixas no formato pretendido, cujas dimensões internas são 14 cm de comprimento do lado da base e 7 cm de altura, que não atendem às suas necessidades. Portanto, ele comprará novas caixas, com o mesmo formato das caixas originais, mas com comprimento do lado da base maior, que sejam adequadas para embalar todos os tipos de torta que produz.
A aresta da base das novas caixas deve ser, no mínimo, quantos centímetros maior do que a das caixas originais?
A caixa original não serve, e a pergunta é qual a menor caixa nova que serve para todas as tortas. O argumento é geométrico: círculo dentro de quadrado pede o diâmetro mais a folga. Só 13% acertaram.
Resolução completa no padrão RT
A caixa precisa servir para a maior torta. Qual é o diâmetro dela, e quanto de folga a caixa precisa ter de cada lado?
O que a questão quer de verdade: o menor lado de base que acomoda a maior torta com 1 cm de folga dos dois lados, comparado com os 14 cm da caixa original.
Se a caixa serve para a torta de raio 16 cm, ela serve para todas as menores. A altura não muda: 6 cm de torta mais 1 cm de folga dá 7 cm, igual à caixa original.
- Maior torta: raio 16 cm, diâmetro 32 cm.
- Folga: 1 cm de cada lado.
- Caixa original: lado da base de 14 cm.
Visto de cima, a torta é um círculo dentro de um quadrado. O lado do quadrado tem de ser o diâmetro mais a folga dos dois lados.
A armadilha: usar o raio no lugar do diâmetro. Com 16 + 2 = 18 cm, a diferença seria 4 (alternativa A), e a torta não caberia.
\text{lado} = 32 + 1 + 1 = 34 \text{ cm}
34 - 14 = 20 \text{ cm}
Na caixa de 34 cm, a torta de 32 cm fica com exatamente 1 cm de cada lado ✓.
De onde vêm as erradas: B (12) usa a menor torta, de raio 12, com 24 + 2 − 14 = 12. D (18) é o lado calculado com o raio no lugar do diâmetro, sem fazer a diferença.
Leve para outras questões: quando uma embalagem tem de servir para vários tamanhos, dimensione pela peça maior. E círculo dentro de quadrado sempre pede o diâmetro.
Escolher pelo critério errado ou pela medida errada. Na 2022 Q169 quem trata raio como área acha que todos os modelos empatam. Na 2025 Q171 quem usa o raio no lugar do diâmetro marca 4 (A), e a torta não cabe.
Onde a H9 mora no Banco
Todas as questões de H9, da mais fácil para a mais difícil
| Ano | Questão | Conteúdo no Banco | Nível no Banco | Dificuldade TRI | Acerto |
|---|---|---|---|---|---|
| 2013 | Q178 | Geometria plana (disposição de círculos em quadrado) | Difícil | – | 18% |
| 2018 | Q159 | Visão espacial (composição de sólidos) | Média–difícil | 516 | 74% |
| 2017 | Q150 | Ângulos (rotação no plano) | Média–difícil | 599 | 39% |
| 2015 | Q153 | Áreas de polígonos regulares (divisão proporcional) | Média | 703 | 23% |
| 2019 | Q169 | Distância entre pontos no plano cartesiano | Média | 703 | 23% |
| 2014 | Q150 | Planificação do paralelepípedo e inequação | Média | 721 | 19% |
| 2020 | Q162 | Áreas e porcentagem (leitura de planta) | Média | 725 | 30% |
| 2021 | Q166 | Área e semelhança (paralelepípedo) | Média | 736 | 24% |
| 2022 | Q169 | Volume do cilindro (variação das dimensões) | Média | 745 | 22% |
| 2020 | Q171 | Geometria plana (ladrilhamento e ângulos) | Fácil–média | 751 | 30% |
| 2013 | Q136 | Prisma oblíquo e tangente (área da base) | Média–difícil | 762 | 11% |
| 2019 | Q142 | Área do círculo (coroa circular) | Fácil–média | 769 | 14% |
| 2023 | Q145 | Ângulo inscrito e arco capaz | Média | 784 | 32% |
| 2024 | Q155 | Área do setor circular | Média | 790 | 21% |
| 2023 | Q148 | Trigonometria no triângulo retângulo | Média | 794 | 29% |
| 2015 | Q137 | Geometria plana (triângulo equilátero inscrito na circunferência) | Média | 800 | 25% |
| 2012 | Q152 | Geometria plana (quadrado inscrito na circunferência) | Média | 812 | 18% |
| 2025 | Q171 | Geometria espacial: cilindro e prisma | Média | 834 | 13% |
| 2017 | Q156 | Trigonometria (triângulo isósceles e ângulo de 120°) | Média–difícil | 848 | 23% |
| 2016 | Q172 | Geometria plana (círculos inscrito e circunscrito) | Difícil | 864 | 23% |
| 2025 | Q139 | Comprimento da circunferência | Fácil | 877 | 36% |
| 2022 | Q176 | Geometria analítica: menor caminho (reflexão) | Difícil | 1314 | 19% |
Dificuldade TRI = parâmetro b do INEP na escala da nota; "–" quando o INEP tirou a questão do cálculo. Acerto = porcentagem de todos os participantes que marcaram a resposta certa.
Projete a 2022 Q169 e peça que cada grupo defenda um modelo em uma frase, com um número (4 min). Compare as defesas: qual argumento derruba os outros? (3 min). Feche com a 2025 Q171: qual torta decide o tamanho da caixa, a menor ou a maior? (3 min).