Questão 169 — ENEM 2019

Distância entre pontos no plano cartesiano Média

Antes da resolução

Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.

Um aplicativo de relacionamentos funciona da seguinte forma: o usuário cria um perfil com foto e informações pessoais, indica as características dos usuários com quem deseja estabelecer contato e determina um raio de abrangência a partir da sua localização. O aplicativo identifica as pessoas que se encaixam no perfil desejado e que estão a uma distância do usuário menor ou igual ao raio de abrangência. Caso dois usuários tenham perfis compatíveis e estejam numa região de abrangência comum a ambos, o aplicativo promove o contato entre os usuários, o que é chamado de match.

O usuário P define um raio de abrangência com medida de 3 km e busca ampliar a possibilidade de obter um match se deslocando para a região central da cidade, que concentra um maior número de usuários. O gráfico ilustra alguns bares que o usuário P costuma frequentar para ativar o aplicativo, indicados por I, II, III, IV e V. Sabe-se que os usuários Q, R e S, cujas posições estão descritas pelo gráfico, são compatíveis com o usuário P, e que estes definiram raios de abrangência respectivamente iguais a 3 km, 2 km e 5 km.

Com base no gráfico e nas afirmações anteriores, em qual bar o usuário P teria a possibilidade de um match com os usuários Q, R e S, simultaneamente?

(A)

(B)

(C)

III

(D)

(E)

Resolução

O que você precisa saber

Distância entre pontos: raiz da soma dos quadrados das diferenças.
Match: a distância não pode passar do raio de nenhum dos dois.
Raiz de 2 ≈ 1,41 e raiz de 5 ≈ 2,24.

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: o bar que está a no máximo 3 km de Q, 2 km de R e 3 km de S ao mesmo tempo.

ESTRUTURAR

Q(3, 7), R(6, 7), S(5, 3).
Bares: I(5, 6), II(4, 5), III(5, 5), IV(4, 6), V(3, 4).
Limites: Q até 3 km; R até 2 km; S até 3 km (o raio de P é menor que o de S).

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Testar R primeiro, porque é o limite mais apertado, e depois Q e S.

A armadilha: escolher o bar III (alternativa C), que está a 2 km de S e parece perto de R, sem calcular. A distância de III até R é \sqrt{5} \approx 2{,}24 km, acima dos 2 km de R.

CALCULAR

Distância até R(6, 7):

\text{I: } \sqrt{1^2 + 1^2} \approx 1{,}41 \quad \text{II: } \sqrt{2^2 + 2^2} \approx 2{,}83 \quad \text{III: } \sqrt{1^2 + 2^2} \approx 2{,}24 \quad \text{IV: } \sqrt{2^2 + 1^2} \approx 2{,}24

Só I passa. Para I(5, 6):

d(I, Q) = \sqrt{2^2 + 1^2} \approx 2{,}24 \le 3 \qquad d(I, S) = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3 \le 3

CONFERIR

O bar V(3, 4) está a \sqrt{9 + 9} \approx 4{,}24 km de R, também fora. O bar I é o único que serve aos três.

Resposta

Bar I.

Alternativa correta A

Lendo pela Matriz do ENEMPor que esta é uma questão da H9 e como isso te ajuda a resolverAbra depois de tentar. O texto mostra a resposta.

H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.

Em palavras de salaAparecem opções (modelos, tampos, caixas, plantas) e a escolha tem que ser justificada com geometria. Você calcula ou compara a medida que decide e usa isso como argumento para escolher.

Por que é H9

As distâncias no plano são o argumento para escolher o bar. Usar conhecimentos geométricos na seleção de argumentos é a H9.

A H9 nesta questão

O bar precisa estar a no máximo 3 km de Q, 2 km de R e 3 km de S. Bar I (5, 6): até Q, √5 ≈ 2,24; até R, √2 ≈ 1,41; até S, 3. Serve aos três.

O que muda na hora de resolver

A H9 pede para testar primeiro o limite mais apertado, o de R. O bar III parece perto, mas fica a √5 ≈ 2,24 km de R.

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