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ENEM · 2016

Questão 172 — ENEM 2016

Geometria plana (círculos inscrito e circunscrito) Difícil

Antes da resolução

Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.

Um marceneiro está construindo um material didático que corresponde ao encaixe de peças de madeira com 10 cm de altura e formas geométricas variadas, num bloco de madeira em que cada peça se posicione na perfuração com seu formato correspondente, conforme ilustra a figura. O bloco de madeira já possui três perfurações prontas de bases distintas: uma quadrada (Q), de lado 4 cm, uma retangular (R), com base 3 cm e altura 4 cm, e uma em forma de um triângulo equilátero (T), de lado 6,8 cm. Falta realizar uma perfuração de base circular (C).

O marceneiro não quer que as outras peças caibam na perfuração circular e nem que a peça de base circular caiba nas demais perfurações e, para isso, escolherá o diâmetro do círculo que atenda a tais condições. Procurou em suas ferramentas uma serra copo (broca com formato circular) para perfurar a base em madeira, encontrando cinco exemplares, com diferentes medidas de diâmetros, como segue: (I) 3,8 cm; (II) 4,7 cm; (III) 5,6 cm; (IV) 7,2 cm e (V) 9,4 cm.

Considere 1,4 e 1,7 como aproximações para \sqrt{2} e \sqrt{3}, respectivamente.

Para que seja atingido o seu objetivo, qual dos exemplares de serra copo o marceneiro deverá escolher?

(A)

(B)

(C)

III

(D)

(E)

Resolução

O que você precisa saber

Uma peça poligonal cabe num furo circular se a sua maior diagonal for menor ou igual ao diâmetro.
O maior círculo dentro de um quadrado tem diâmetro igual ao lado; num retângulo, igual ao lado menor.
No triângulo equilátero de lado L, o círculo inscrito tem diâmetro L dividido por raiz de 3, e o circunscrito tem o dobro disso.

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: um diâmetro maior que todos os círculos inscritos e menor que todas as diagonais das peças.

ESTRUTURAR

Quadrado de lado 4. Retângulo 3 × 4. Triângulo equilátero de lado 6,8.
Diâmetros disponíveis: 3,8; 4,7; 5,6; 7,2; 9,4.

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Calcular o maior círculo inscrito (limite de baixo) e a menor diagonal das peças (limite de cima).

A armadilha: pensar só no quadrado e escolher 5,6 cm, a diagonal dele (alternativa C). Com esse furo, a peça retangular, de diagonal 5 cm, entraria no buraco redondo.

CALCULAR

Círculo inscrito (a peça redonda não pode entrar):

\text{quadrado: } 4 \qquad \text{retângulo: } 3 \qquad \text{triângulo: } \frac{6{,}8}{\sqrt{3}} = \frac{6{,}8}{1{,}7} = 4

Diâmetro maior que 4.

Diagonal ou círculo circunscrito (as peças não podem entrar no furo redondo):

\text{quadrado: } 4\sqrt{2} = 5{,}6 \qquad \text{retângulo: } \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \qquad \text{triângulo: } 2 \cdot 4 = 8

Diâmetro menor que 5. Entre 4 e 5, só 4,7 cm.

CONFERIR

Com 4,7 cm: a peça redonda não entra em furos onde só cabe círculo de 4 ou 3 ✓, e nenhuma peça entra no furo redondo, porque todas medem 5 cm ou mais na diagonal ✓.

Resposta

Exemplar II (4,7 cm).

Alternativa correta B

Lendo pela Matriz do ENEMPor que esta é uma questão da H9 e como isso te ajuda a resolverAbra depois de tentar. O texto mostra a resposta.

H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.

Em palavras de salaAparecem opções (modelos, tampos, caixas, plantas) e a escolha tem que ser justificada com geometria. Você calcula ou compara a medida que decide e usa isso como argumento para escolher.

Por que é H9

As medidas dos furos e das peças são o argumento para escolher a serra. Usar conhecimentos geométricos na seleção de argumentos é a H9.

A H9 nesta questão

O furo redondo precisa ser maior que o maior círculo que cabe nos outros furos, 4 cm, para a peça redonda não entrar neles. E menor que a menor diagonal das outras peças, 5 cm, para elas não entrarem nele. Só 4,7 cm fica entre 4 e 5.

O que muda na hora de resolver

A H9 pede as duas condições do texto. Quem pensa só no quadrado escolhe 5,6 cm, e a peça retangular entraria no furo.

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