H8 · Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma
Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.Competência 2: Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
Uma situação com uma figura de verdade (campo de futebol, caixa-d'água, caneca, silo) e uma medida para calcular. Você escolhe a grandeza certa, a fórmula certa e cuida de como cada dimensão entra nela.
Que medida a pergunta quer (comprimento, área ou volume), e qual fórmula liga essa medida ao que foi dado?
Como reconhecer no enunciado
- Geometria plana (12 das 25) e espacial (9) dividem quase todas as questões de H8.
- A pergunta pede uma medida com unidade: "em metros quadrados", "em mililitro", "em centímetro", "quantas dessas esferas".
- É a tarefa de resolver da competência de geometria: tem conta, e a figura geralmente vem pronta.
Uma questão lida com a H8
Tente antes de ler a explicação. Depois que você marcar, aparece a leitura com a matriz.
Uma loja de materiais de construção vende dois tipos de caixas-d'água: tipo A e tipo B. Ambas têm formato cilíndrico e possuem o mesmo volume, e a altura da caixa-d'água do tipo B é igual a 25% da altura da caixa-d'água do tipo A.
Se R denota o raio da caixa-d'água do tipo A, então o raio da caixa-d'água do tipo B é
Lendo com a H8
Uma situação-problema com caixa-d'água resolvida com volume do cilindro. É conhecimento geométrico de espaço e forma usado para chegar a um valor. Por isso é H8.
Resolução completa no padrão RT
Iguale os dois volumes. Se a altura vira um quarto, a área da base precisa ficar 4 vezes maior. E o raio?
O que a questão quer de verdade: o raio de um cilindro com o mesmo volume e um quarto da altura.
• Tipo A: raio R, altura h.
• Tipo B: raio r, altura \frac{h}{4}.
• Volumes iguais.
Igualar os volumes e isolar r.
A armadilha: pensar que o raio cresce na mesma proporção que a altura diminui, o que dá 4R (alternativa C). O que fica 4 vezes maior é o raio ao quadrado.
\pi r^2 \cdot \frac{h}{4} = \pi R^2 \cdot h
r^2 = 4R^2 \;\Rightarrow\; r = 2R
Com R = 1 e h = 4: volume de A é 4\pi. Em B, raio 2 e altura 1: \pi \cdot 4 \cdot 1 = 4\pi. Confere.
Leve para outras questões: o raio entra ao quadrado no volume do cilindro. Mudanças na altura se compensam com a raiz quadrada no raio.
Mais duas, da mais fácil à mais difícil
O estádio do Maracanã passou por algumas modificações estruturais para a realização da Copa do Mundo de 2014, como, por exemplo, as dimensões do campo retangular. Para se adaptar aos padrões da Fifa, as dimensões do campo foram reduzidas de 110 m × 75 m para 105 m × 68 m.
Disponível em: http://virgula.uol.com.br. Acesso em: 14 ago. 2013 (adaptado).
Em quantos metros quadrados a área do campo do Maracanã foi reduzida?
Duas áreas de retângulo e uma subtração, com um contexto real (o Maracanã na Copa de 2014). 41% acertaram, uma das H8 mais fáceis.
Resolução completa no padrão RT
Calcule a área antes e depois da reforma. A redução é a diferença entre as duas.
O que a questão quer de verdade: a diferença entre a área antiga e a área nova do campo.
Calcular as duas áreas e subtrair.
A armadilha: multiplicar as diferenças dos lados: (110 - 105) \times (75 - 68) = 5 \times 7 = 35 (alternativa B). Isso é só o cantinho que sobra, não a área inteira retirada.
110 \times 75 = 8\,250 \text{ m}^2
105 \times 68 = 7\,140 \text{ m}^2
8\,250 - 7\,140 = 1\,110 \text{ m}^2
De onde vêm as erradas: A (24) é a redução do perímetro, 370 - 346; B (35) multiplica as diferenças dos lados; E (1 145) soma 1 110 com 35; C (555) é metade da resposta.
Leve para outras questões: área não se subtrai lado a lado. Calcule cada área inteira primeiro e só depois faça a diferença.
Peças metálicas de aeronaves abandonadas em aeroportos serão recicladas. Uma dessas peças é maciça e tem o formato cilíndrico, com a medida do raio da base igual a 4 cm e a da altura igual a 50 cm. Ela será derretida, e o volume de metal resultante será utilizado para a fabricação de esferas maciças com diâmetro de 1 cm, a serem usadas para confeccionar rolamentos. Para estimar a quantidade de esferas que poderão ser produzidas a partir de cada uma das peças cilíndricas, admite-se que não ocorre perda de material durante o processo de derretimento.
Quantas dessas esferas poderão ser obtidas a partir de cada peça cilíndrica?
Volume do cilindro, volume da esfera e a ideia de que o volume se conserva ao derreter. Só 15% acertaram; o tropeço mais comum é usar o diâmetro como raio.
Resolução completa no padrão RT
Divida o volume do cilindro pelo volume de uma esfera. O diâmetro da esfera é 1 cm, então o raio é 0,5 cm.
O que a questão quer de verdade: quantas esferas de raio 0,5 cm cabem no volume de metal do cilindro.
• Cilindro: raio 4 cm, altura 50 cm.
• Esfera: raio \frac{1}{2} cm.
Calcular os dois volumes deixando \pi indicado e dividir; o \pi se cancela.
A armadilha: usar 1 cm como raio da esfera, chegando a 600 esferas, que não está nas alternativas. Outro tropeço é errar \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}.
V_{\text{cil}} = \pi \cdot 4^2 \cdot 50 = 800\pi \text{ cm}^3
V_{\text{esf}} = \frac{4}{3}\pi \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{\pi}{6} \text{ cm}^3
N = \frac{800\pi}{\frac{\pi}{6}} = 800 \cdot 6 = 4\,800
Cada esfera tem cerca de 0,52 cm³ e o cilindro, cerca de 2 513 cm³: 2\,513 \div 0{,}52 \approx 4\,800.
Leve para outras questões: em "derreter e moldar", o volume se conserva. Deixe o \pi indicado: ele se cancela na divisão.
Tratar área ou volume como se crescessem do mesmo jeito que o lado. Na 2020 Q161 quem acha que o raio cresce 4 vezes porque a altura caiu 4 vezes marca 4R (C). Na 2024 Q145 quem multiplica as diferenças dos lados marca 35 (B).
Onde a H8 mora no Banco
Todas as questões de H8, da mais fácil para a mais difícil
| Ano | Questão | Conteúdo no Banco | Nível no Banco | Dificuldade TRI | Acerto |
|---|---|---|---|---|---|
| 2019 | Q175 | Volume de cilindros (vasos comunicantes) | Difícil | – | 16% |
| 2015 | Q148 | Geometria espacial (empilhamento de paralelepípedos) | Média | 622 | 35% |
| 2016 | Q142 | Geometria analítica (distância em malha quadriculada) | Média | 645 | 41% |
| 2024 | Q145 | Área de retângulos | Fácil | 646 | 41% |
| 2013 | Q141 | Circunferências tangentes e triângulo equilátero | Média–difícil | 672 | 32% |
| 2019 | Q166 | Dobradura e teorema de Pitágoras | Média–difícil | 711 | 24% |
| 2017 | Q138 | Trigonometria (seno de ângulos notáveis) | Fácil–média | 730 | 27% |
| 2015 | Q155 | Área do círculo | Fácil–média | 734 | 33% |
| 2025 | Q164 | Trigonometria: lei dos cossenos | Difícil | 738 | 33% |
| 2018 | Q179 | Geometria plana (triângulo retângulo isósceles e diagonal do quadrado) | Difícil | 745 | 20% |
| 2023 | Q165 | Área de figuras planas (escada) | Média | 757 | 21% |
| 2016 | Q161 | Geometria espacial (volume de paralelepípedo) | Difícil | 764 | 25% |
| 2014 | Q142 | Volume de prisma de base trapezoidal | Média | 766 | 18% |
| 2012 | Q160 | Áreas de figuras planas (triângulos) e custo | Média–difícil | 767 | 24% |
| 2024 | Q164 | Triângulo equilátero e circuncentro | Média | 775 | 35% |
| 2020 | Q161 | Volume do cilindro | Fácil–média | 783 | 25% |
| 2021 | Q169 | Triângulo equilátero (altura e perímetro) | Média | 789 | 25% |
| 2017 | Q153 | Geometria plana (triângulo equilátero e circunferências tangentes) | Média–difícil | 802 | 17% |
| 2025 | Q149 | Poliedros e relação de Euler | Média | 805 | 29% |
| 2021 | Q170 | Volume do tronco de cone | Média–difícil | 812 | 29% |
| 2023 | Q136 | Cone, tronco de cone e cilindro (volume) | Média–difícil | 817 | 30% |
| 2022 | Q174 | Volume do cilindro e da esfera | Média | 834 | 16% |
| 2013 | Q179 | Semelhança de triângulos (haste entre postes) | Média–difícil | 838 | 28% |
| 2018 | Q153 | Área da coroa circular (tangente e Pitágoras) | Média–difícil | 875 | 26% |
| 2014 | Q147 | Desigualdade triangular e contagem | Média | 1983 | 34% |
Dificuldade TRI = parâmetro b do INEP na escala da nota; "–" quando o INEP tirou a questão do cálculo. Acerto = porcentagem de todos os participantes que marcaram a resposta certa.
Pergunte à turma: se a altura de uma lata cai pela metade, o que acontece com o volume? E se o raio cai pela metade? (3 min). Projete a 2020 Q161 e peça para testar com números pequenos (R = 1, h = 4) (4 min). Feche com a 2024 Q145 e o desenho do L que sai do campo (3 min).