Área da coroa circular (tangente e Pitágoras)Média–difícil
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
A figura mostra uma praça circular que contém um chafariz em seu centro e, em seu entorno, um passeio. Os círculos que definem a praça e o chafariz são concêntricos.
O passeio terá seu piso revestido com ladrilhos. Sem condições de calcular os raios, pois o chafariz está cheio, um engenheiro fez a seguinte medição: esticou uma trena tangente ao chafariz, medindo a distância entre dois pontos A e B, conforme a figura. Com isso, obteve a medida do segmento de reta AB: 16 m.
Dispondo apenas dessa medida, o engenheiro calculou corretamente a medida da área do passeio, em metro quadrado.
A medida encontrada pelo engenheiro foi
(A)
4\pi
(B)
8\pi
(C)
48\pi
(D)
64\pi
(E)
192\pi
Pista
Ligue o centro ao ponto de tangência (raio r) e ao ponto A (raio R). Forma um triângulo retângulo com cateto 8, metade de AB.
Resolução
O que você precisa saber
Raio até o ponto de tangência é perpendicular à tangente.
O raio perpendicular divide a corda ao meio.
Área da coroa: π vezes (R² − r²).
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: R^2 - r^2, que aparece direto no triângulo retângulo formado com metade de AB.
ESTRUTURAR
AB = 16 m, tangente ao círculo menor.
Metade: 8 m.
Triângulo retângulo: hipotenusa R, catetos r e 8.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Usar Pitágoras para achar R^2 - r^2 sem precisar dos raios.
A armadilha: esquecer de elevar ao quadrado e usar só a metade da corda, 8\pi (alternativa B). Pitágoras dá R^2 - r^2 = 8^2 = 64.
Exemplo: r = 6 e R = 10 (porque 10^2 = 6^2 + 8^2). Área: 100\pi - 36\pi = 64\pi. Com r = 0 e R = 8 também dá 64\pi: o valor não depende dos raios.
Resposta
64\pi m².
Alternativa corretaD
Lendo pela Matriz do ENEMPor que esta é uma questão da H8 e como isso te ajuda a resolverAbra depois de tentar. O texto mostra a resposta.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
Em palavras de salaUma situação com uma figura de verdade (campo de futebol, caixa-d'água, caneca, silo) e uma medida para calcular. Você escolhe a grandeza certa, a fórmula certa e cuida de como cada dimensão entra nela.
Por que é H8
A área do passeio sai de um triângulo retângulo dentro dos círculos. Resolver situação-problema com conhecimentos geométricos é a H8.
A H8 nesta questão
O raio r até o ponto de tangência é perpendicular a AB. Com metade da trena, 8 m, e o raio R, vale R² = r² + 8². A área é πR² − πr² = 64π.
O que muda na hora de resolver
A H8 pede o triângulo retângulo certo. Ele dá R² − r² sem os raios. Quem esquece de elevar o 8 ao quadrado marca 8π.
