Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Um designer de jogos planeja um jogo que faz uso de um tabuleiro de dimensão n × n, com n ≥ 2, no qual cada jogador, na sua vez, coloca uma peça sobre uma das casas vazias do tabuleiro. Quando uma peça é posicionada, a região formada pelas casas que estão na mesma linha ou coluna dessa peça é chamada de zona de combate dessa peça. Na figura está ilustrada a zona de combate de uma peça colocada em uma das casas de um tabuleiro de dimensão 8 × 8.
O tabuleiro deve ser dimensionado de forma que a probabilidade de se posicionar a segunda peça aleatoriamente, seguindo a regra do jogo, e esta ficar sobre a zona de combate da primeira, seja inferior a \frac{1}{5}.
A dimensão mínima que o designer deve adotar para esse tabuleiro é
(A)
4 × 4.
(B)
6 × 6.
(C)
9 × 9.
(D)
10 × 10.
(E)
11 × 11
Pista
Depois da primeira peça, sobram n² − 1 casas vazias. A zona de combate tem n − 1 casas na linha e n − 1 na coluna.
Resolução
O que você precisa saber
Probabilidade: casos favoráveis sobre casos possíveis.
n² − 1 = (n − 1)(n + 1).
Inferior a: desigualdade estrita.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o menor n com \frac{2(n-1)}{n^2 - 1} < \frac{1}{5}.
ESTRUTURAR
• Casas vazias após a primeira peça: n^2 - 1.
• Casas na zona de combate: 2(n - 1).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Simplificar a fração e resolver a desigualdade.
A armadilha: aceitar 9 × 9 (alternativa C). Com n = 9 a probabilidade é \frac{2}{10} = \frac{1}{5}, igual, e o enunciado pede inferior a \frac{1}{5}.
CALCULAR
P = \frac{2(n - 1)}{(n - 1)(n + 1)} = \frac{2}{n + 1}\frac{2}{n + 1} < \frac{1}{5} \;\Rightarrow\; n + 1 > 10 \;\Rightarrow\; n > 9 \;\Rightarrow\; n = 10
CONFERIR
No tabuleiro 8 × 8 da figura: \frac{14}{63} = \frac{2}{9} \approx 0{,}22, acima de 0,2. Com 10 × 10: \frac{18}{99} = \frac{2}{11} \approx 0{,}18, abaixo.
Resposta
10 × 10.
Alternativa corretaD
Lendo pela Matriz do ENEMPor que esta é uma questão da H30 e como isso te ajuda a resolverAbra depois de tentar. O texto mostra a resposta.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
Em palavras de salaAlguém vai agir (contratar, vacinar, comprar, ajustar uma nota) para que uma média ou uma probabilidade chegue a uma meta. Você monta a medida com a incógnita e acha o mínimo ou o máximo que cumpre a meta.
Por que é H30
O designer escolhe o tamanho do tabuleiro para a probabilidade ficar abaixo de uma meta. Avaliar propostas de intervenção com conhecimentos de probabilidade é a H30.
A H30 nesta questão
Muda n. Fica fixa a regra da zona de combate. A meta é 2(n − 1)/(n² − 1) < 1/5. A fração simplifica para 2/(n + 1), e n + 1 > 10. O menor é n = 10.
O que muda na hora de resolver
A H30 pede a desigualdade estrita. Com 9 × 9 a chance é exatamente 1/5. Quem aceita o igual marca C. Só 18% acertaram.
