Para ganhar um prêmio, uma pessoa deverá retirar, sucessivamente e sem reposição, duas bolas pretas de uma mesma urna. Inicialmente, as quantidades e cores das bolas são como descritas a seguir: • Urna A – Possui três bolas brancas, duas bolas pretas e uma bola verde; • Urna B – Possui seis bolas brancas, três bolas pretas e uma bola verde; • Urna C – Possui duas bolas pretas e duas bolas verdes; • Urna D – Possui três bolas brancas e três bolas pretas. A pessoa deve escolher uma entre as cinco opções apresentadas: • Opção 1 – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A; • Opção 2 – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna B; • Opção 3 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna A; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A; • Opção 4 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna D para a urna C; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna C; • Opção 5 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna D; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna D. Com o objetivo de obter a maior probabilidade possível de ganhar o prêmio, a pessoa deve escolher a opção A) 1. B) 2. C) 3. D) 4. E) 5.

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ENEM · 2018

Questão 150 — ENEM 2018

Probabilidade (eventos sucessivos sem reposição) Difícil

Antes da resolução

Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.

Para ganhar um prêmio, uma pessoa deverá retirar, sucessivamente e sem reposição, duas bolas pretas de uma mesma urna.

Inicialmente, as quantidades e cores das bolas são como descritas a seguir:

Urna A – Possui três bolas brancas, duas bolas pretas e uma bola verde;
Urna B – Possui seis bolas brancas, três bolas pretas e uma bola verde;
Urna C – Possui duas bolas pretas e duas bolas verdes;
Urna D – Possui três bolas brancas e três bolas pretas.

A pessoa deve escolher uma entre as cinco opções apresentadas:

Opção 1 – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A;
Opção 2 – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna B;
Opção 3 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna A; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A;
Opção 4 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna D para a urna C; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna C;
Opção 5 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna D; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna D.

Com o objetivo de obter a maior probabilidade possível de ganhar o prêmio, a pessoa deve escolher a opção

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

Resolução

O que você precisa saber

Sem reposição: na segunda retirada há uma bola a menos.
Bola passada ao acaso: considere cada cor com sua chance.
Compare as cinco probabilidades em decimal.

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: qual das cinco opções dá a maior chance de tirar duas pretas seguidas.

ESTRUTURAR

A: 3 brancas, 2 pretas, 1 verde (6).
B: 6 brancas, 3 pretas, 1 verde (10).
C: 2 pretas, 2 verdes (4). D: 3 brancas, 3 pretas (6).

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Calcular as cinco probabilidades.

A armadilha: parar na opção 4 (alternativa D), que dá 0,20 e parece a melhor depois das três primeiras. A opção 5 dá um pouco mais, cerca de 0,21.

CALCULAR

• Opção 1: \frac{2}{6} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{15} \approx 0{,}067

• Opção 2: \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{9} = \frac{1}{15} \approx 0{,}067

• Opção 3: \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{14} + \frac{1}{42} = \frac{2}{21} \approx 0{,}095

• Opção 4: \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{20} + \frac{1}{20} = 0{,}20

• Opção 5: \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{2}{6} = \frac{1}{7} + \frac{1}{14} = \frac{3}{14} \approx 0{,}214

CONFERIR

\frac{3}{14} = \frac{15}{70} e \frac{1}{5} = \frac{14}{70}: a opção 5 ganha da 4 por pouco.

Resposta

Opção 5.

Alternativa correta E

Lendo pela Matriz do ENEMPor que esta é uma questão da H29 e como isso te ajuda a resolverAbra depois de tentar. O texto mostra a resposta.

H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.

Em palavras de salaMédias, desvios ou probabilidades servem para escolher, ordenar ou justificar uma decisão. Você calcula a medida que sustenta a escolha e confere se ela garante o que a pergunta diz.

Por que é H29

As probabilidades de cada opção são o argumento para escolher a melhor. Usar conhecimentos de probabilidade como argumento é a H29.

A H29 nesta questão

Duas pretas seguidas: opção 1, 1/15; opção 2, 1/15; opção 3, 2/21 ≈ 0,095; opção 4, 1/5 = 0,20; opção 5, 3/14 ≈ 0,214. Vence a opção 5.

O que muda na hora de resolver

A H29 pede para calcular todas antes de concluir. A opção 4 parece a melhor, e a 5 ganha por pouco: 15/70 contra 14/70.

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