H29 · Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação
Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.Competência 7: Compreender o caráter aleatório e não-determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística.
Médias, desvios ou probabilidades servem para escolher, ordenar ou justificar uma decisão. Você calcula a medida que sustenta a escolha e confere se ela garante o que a pergunta diz.
Que conclusão os dados garantem, e qual só parece certa?
Como reconhecer no enunciado
- Em 13 das 22 questões de H29 alguém escolhe ou decide: "a gerência decidiu incluir no cardápio", "o grupo escolhido foi", "as empresas que este investidor escolhe comprar".
- A resposta é uma opção (lanche, grupo, atleta, cor de sapato), e a conta serve de argumento para ela.
- Estatística (14) e probabilidade (8). 10 enunciados citam probabilidade e 10 citam média, mediana, moda ou desvio.
Uma questão lida com a H29
Tente antes de ler a explicação. Depois que você marcar, aparece a leitura com a matriz.
Em um estudo clínico, 55 mulheres foram distribuídas, aleatoriamente, em 5 grupos de 11 pessoas. Para testar uma nova medicação, será escolhido um grupo no qual a maioria das mulheres tenham idades entre 20 e 30 anos. Os demais grupos tomarão placebo ou medicações já existentes no mercado. O quadro, parcialmente preenchido, informa alguns dados relativos às idades das mulheres desses grupos.
Mesmo com o quadro incompleto, foi possível selecionar um desses grupos porque, apenas com os dados apresentados no quadro, foi identificado um grupo que, certamente, atendia ao critério de escolha.
O grupo escolhido foi o
Lendo com a H29
O quadro de medidas serve para justificar a escolha de um grupo. Usar estatística para construir um argumento é a H29. 29% acertaram.
Resolução completa no padrão RT
Um desvio padrão pequeno diz que quase ninguém está longe da média. Quão longe de 25 anos uma mulher precisaria estar para ficar fora da faixa de 20 a 30?
O que a questão quer de verdade: em qual grupo os dados garantem, sem nenhuma dúvida, que pelo menos 6 das 11 mulheres têm entre 20 e 30 anos.
A palavra-chave é "certamente". Não basta ser possível: os dados do quadro precisam obrigar.
- Grupo 1: média 25 e desvio 10. Desvio grande: as idades podem estar bem espalhadas.
- Grupo 2: mediana 25. Pelo menos 6 mulheres têm até 25 anos, mas elas podem ter menos de 20.
- Grupo 3: moda 25. Pode haver só duas mulheres com 25 anos e as outras bem longe disso.
- Grupo 4: média 25 e desvio 1. Idades muito concentradas perto de 25.
- Grupo 5: de 20 a 35 anos. As outras nove podem ter mais de 30.
Para cada grupo, pergunte: dá para imaginar idades que respeitem o quadro e deixem a maioria fora de 20 a 30? Se der, o grupo não serve.
A armadilha: achar que média 25 ou mediana 25 já resolve. Ter o centro em 25 não impede que as idades estejam longe dele.
Veja o grupo 4. Desvio padrão 1 quer dizer variância 1: a média dos quadrados das distâncias até 25 é 1. Somando as 11 mulheres:
\text{soma dos quadrados das distâncias} = 11 \times 1^2 = 11
Uma mulher fora da faixa de 20 a 30 anos estaria a mais de 5 anos de 25. Sozinha, ela já somaria mais de 5^2 = 25, o que passa de 11. Isso é impossível.
Então, no grupo 4, todas as 11 mulheres têm entre 20 e 30 anos.
Mesmo que o desvio padrão tivesse sido calculado dividindo por 10 em vez de 11, a soma seria 10, ainda bem menor que 25 ✓.
Nos outros grupos, os dados permitem que a maioria fique fora da faixa. No grupo 5, por exemplo, uma mulher pode ter 20 anos, outra 35 e as outras nove 33: só uma estaria entre 20 e 30.
Leve para outras questões: "certamente" pede uma garantia. Para descartar uma opção, basta um exemplo que respeite os dados e falhe no critério.
Mais duas, da mais fácil à mais difícil
Uma rede de hamburgueria tem três franquias em cidades distintas. Visando incluir um novo tipo de lanche no cardápio, o gerente de marketing da rede sugeriu que fossem colocados à venda cinco novos tipos de lanche, em edições especiais. Os lanches foram oferecidos pelo mesmo período de tempo em todos os franqueados. O tipo que apresentasse a maior média por franquia seria incluído definitivamente no cardápio. Terminado o período de experiência, a gerência recebeu um relatório descrevendo as quantidades vendidas, em unidade, de cada um dos cinco tipos de lanche nas três franquias.
Com base nessas informações, a gerência decidiu incluir no cardápio o lanche de tipo
Somar três vendas e comparar cinco lanches. É a questão de maior acerto de H29, com 68%.
Resolução completa no padrão RT
Como todos os lanches foram vendidos nas mesmas 3 franquias, a maior média é a da maior soma. Some cada coluna.
O que a questão quer de verdade: o lanche com a maior soma (ou média) de vendas nas três franquias.
- Cada lanche tem 3 valores, um por franquia.
Somar as três vendas de cada lanche.
A armadilha: escolher o lanche com o maior número do quadro (445, lanche II, alternativa B). Ele vendeu pouco nas outras franquias.
\text{I: } 1\,245 \qquad \text{II: } 1\,230 \qquad \text{III: } 1\,220
\text{IV: } 1\,233 \qquad \text{V: } 435 + 425 + 420 = 1\,280
A média do lanche V é \frac{1\,280}{3} \approx 426{,}7, a única acima de 415. Ele foi bem nas três franquias.
Leve para outras questões: para comparar médias com o mesmo número de dados, compare as somas. Desconfie do maior valor isolado.
Três dados cúbicos, com faces numeradas de 1 a 6, foram utilizados em um jogo. Artur escolheu dois dados, e João ficou com o terceiro. O jogo consiste em ambos lançarem seus dados, observarem os números nas faces voltadas para cima e compararem o maior número obtido por Artur com o número obtido por João. Vence o jogador que obtiver o maior número. Em caso de empate, a vitória é de João.
O jogador que tem a maior probabilidade de vitória é
Comparar duas probabilidades, com o empate a favor de João. Só 14% acertaram.
Resolução completa no padrão RT
Para Artur perder, os dois dados dele precisam dar números menores ou iguais ao de João. Se João tirou j, em quantos dos 36 resultados de Artur isso acontece?
O que a questão quer de verdade: comparar a chance de o maior dado de Artur passar o número de João com a chance de não passar.
Empate é vitória de João. Então João vence quando o maior número de Artur é menor ou igual ao dele.
Para cada número j de João, os dois dados de Artur ficam em no máximo j em j^2 dos 36 casos:
- João tira 1: 1 caso;
- João tira 2: 4 casos;
- João tira 3: 9 casos;
- João tira 4: 16 casos;
- João tira 5: 25 casos;
- João tira 6: 36 casos.
Contar os casos em que João vence, que são mais fáceis, e usar o complemento para Artur.
A armadilha: esquecer que o empate é de João. São justamente os empates que fazem a conta de João dar j^2 casos, e não (j - 1)^2.
\text{João vence: } 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91 \text{ casos}
P(\text{João}) = \frac{91}{216} \qquad P(\text{Artur}) = 1 - \frac{91}{216} = \frac{125}{216}
\tfrac{125}{216} \approx 58\% é maior que \tfrac{91}{216} \approx 42\%: Artur tem mais chance ✓. Faz sentido, porque ele lança dois dados e fica com o maior.
A alternativa D traz a probabilidade certa de João, mas João não é o favorito. A C coloca a probabilidade de João no nome de Artur.
Leve para outras questões: "o maior de vários dados é no máximo j" é o mesmo que "todos são no máximo j". Contar o complemento costuma ser o caminho curto.
Escolher pelo número que chama atenção. Na 2021 Q139 quem vai no maior valor do quadro marca o lanche II (B). Na 2025 Q178 quem calcula certo a chance de João (91/216) e para aí marca D, sem comparar com a de Artur.
Onde a H29 mora no Banco
Todas as questões de H29, da mais fácil para a mais difícil
| Ano | Questão | Conteúdo no Banco | Nível no Banco | Dificuldade TRI | Acerto |
|---|---|---|---|---|---|
| 2017 | Q155 | Média aritmética | Fácil | 540 | 52% |
| 2021 | Q139 | Média aritmética (comparação) | Fácil–média | 574 | 69% |
| 2016 | Q144 | Estatística (média aritmética) | Fácil | 600 | 38% |
| 2012 | Q174 | Média aritmética (comparação em tabela) | Fácil | 603 | 46% |
| 2022 | Q171 | Média aritmética | Fácil–média | 614 | 44% |
| 2020 | Q178 | Probabilidade (valor esperado) | Fácil–média | 644 | 35% |
| 2017 | Q149 | Probabilidade (comparação de chances) | Difícil | 651 | 29% |
| 2024 | Q173 | Leitura de gráficos e porcentagem | Fácil–média | 691 | 29% |
| 2021 | Q140 | Média ponderada | Fácil–média | 704 | 28% |
| 2014 | Q141 | Estatística (mediana) | Fácil–média | 721 | 19% |
| 2016 | Q140 | Estatística (desvio padrão e regularidade) | Fácil–média | 742 | 32% |
| 2025 | Q165 | Estatística: medidas de centro e desvio padrão | Difícil | 755 | 30% |
| 2014 | Q157 | Estatística (moda e média de variável 0 ou 1) | Média | 764 | 24% |
| 2023 | Q160 | Princípio multiplicativo e probabilidade | Média–difícil | 808 | 21% |
| 2019 | Q167 | Mediana (interpretação) | Média–difícil | 818 | 39% |
| 2013 | Q168 | Probabilidade total (peças defeituosas) | Média | 831 | 29% |
| 2015 | Q170 | Média aritmética (média com pesos) | Média | 861 | 12% |
| 2025 | Q178 | Probabilidade | Difícil | 864 | 14% |
| 2012 | Q178 | Probabilidade (soma de dois dados) | Fácil–média | 920 | 24% |
| 2018 | Q150 | Probabilidade (eventos sucessivos sem reposição) | Difícil | 951 | 36% |
| 2018 | Q156 | Moda, mediana e probabilidade | Difícil | 983 | 17% |
| 2015 | Q179 | Probabilidade (comparação de modos de sorteio) | Média–difícil | 993 | 20% |
Dificuldade TRI = parâmetro b do INEP na escala da nota; "–" quando o INEP tirou a questão do cálculo. Acerto = porcentagem de todos os participantes que marcaram a resposta certa.
Projete o quadro da 2025 Q165 e peça que cada dupla invente idades para o grupo 1 que deixem a maioria fora de 20 a 30 (4 min). Tentem o mesmo no grupo 4 (3 min). Feche: "certamente" pede garantia, e um contraexemplo derruba uma opção (3 min).