DOSSIÊ 900+ · ENEM 2018
Tabuleiro n×n
Uma leitura completa da questão: o que a torna difícil, onde está a decisão estratégica e como transformar esse raciocínio em repertório para outras questões.
QUESTÃO OFICIAL
ANTES DA ANÁLISE, FAÇA A QUESTÃO.
Um designer de jogos planeja um jogo que faz uso de um tabuleiro de dimensão n × n, com n ≥ 2, no qual cada jogador, na sua vez, coloca uma peça sobre uma das casas vazias do tabuleiro. Quando uma peça é posicionada, a região formada pelas casas que estão na mesma linha ou coluna dessa peça é chamada de zona de combate dessa peça. Na figura está ilustrada a zona de combate de uma peça colocada em uma das casas de um tabuleiro de dimensão 8 × 8.
O tabuleiro deve ser dimensionado de forma que a probabilidade de se posicionar a segunda peça aleatoriamente, seguindo a regra do jogo, e esta ficar sobre a zona de combate da primeira, seja inferior a 15.
A dimensão mínima que o designer deve adotar para esse tabuleiro é
Transcrição editorial auditada a partir da prova oficial do ENEM.
DADOS DO INEP · ENEM 2018 · Q154
- Acerto geral
- 18% de 973 mil no caderno azul
- Quem tira 700
- 21% acerta
- Quem tira 800
- 35% acerta
- Parâmetro b
- 946 valor do Inep
#19 de 588 · entre as 45. Microdados do ENEM 2018 (Inep). Retrato da prova aplicada, não previsão de nota.
APOIO VISUAL
A CASA OCUPADA NÃO ENTRA NO SORTEIO DA SEGUNDA PEÇA.
A linha e a coluna têm 2n−1 casas juntas, mas uma delas já está ocupada pela primeira peça. Para a segunda jogada, a zona de combate disponível tem 2n−2 casas.
MAPA DA QUESTÃO
ANTES DE RESOLVER, ENTENDA O TERRENO.
O tabuleiro é genérico e ainda há uma condição de probabilidade inferior a 1/5.
O denominador é n²−1 e o numerador é 2n−2, pois a casa da primeira peça já está ocupada.
Linha + coluna contam a interseção uma vez, mas essa interseção não está disponível para a segunda peça.
IDENTIFICAÇÃO
A QUESTÃO EM UMA LINHA
- Caderno
- Caderno 7 · Azul
- Questão
- 154
- Gabarito
- D
- Conteúdo
- Probabilidade · Álgebra
- Subconteúdo
- Espaço amostral · contagem em linha e coluna · inequação racional
DIFICULDADE
ONDE A DIFICULDADE REALMENTE MORA
Como ler o b? É o parâmetro de dificuldade que o Inep calcula para cada questão, posto na escala da nota de Matemática. Perto dessa nota, um aluno passa a ter boa chance de acertar. Quanto maior o b, mais alta a nota de quem costuma acertar. A causa dominante, ao lado, é a leitura do Prof. Rafael sobre por que a questão é difícil; ela não entra na posição.
Também pesa: Contagem sem dupla contagem · simplificação algébrica · desigualdade estrita
POR QUE É DIFÍCIL?
A CONTA NÃO É O PRIMEIRO PROBLEMA
- A figura induz a contar a linha e a coluna como 2n−1 casas. Essa quantidade descreve a cruz geométrica, mas não os casos favoráveis disponíveis para a segunda peça.
- O espaço amostral também não é n²: depois da primeira jogada, sobram somente n²−1 casas vazias.
- A fração parece gerar uma inequação racional trabalhosa, mas existe uma simplificação estrutural muito forte: n²−1 = (n−1)(n+1).
ANTES DA CONTA
Separe primeiro casos possíveis e casos favoráveis. A segunda peça pode ocupar qualquer uma das n²−1 casas vazias. Na mesma linha há n−1 casas vazias; na mesma coluna, outras n−1. Portanto, a zona de combate disponível contém 2n−2 casas.
uma casa já está ocupada
mesma linha ou mesma coluna
a desigualdade é estrita
Conte o que a segunda peça realmente pode ocupar. A casa da primeira peça aparece no desenho da zona, mas não pertence ao espaço amostral.
DICAS PROGRESSIVAS
ABRA SÓ O QUE PRECISAR
DICA 01
Depois da primeira peça ser posicionada, quantas casas continuam disponíveis para a segunda? Não use n² diretamente.
DICA 02
Na linha da primeira peça existem n−1 casas vazias; na coluna também. Some essas duas quantidades.
DICA 03
Fatore n²−1 = (n−1)(n+1) antes de resolver a desigualdade. A fração praticamente desaparece.
RESOLUÇÃO PADRÃO OURO
A FRAÇÃO FICA SIMPLES QUANDO A CONTAGEM ESTÁ CERTA
O desafio é menos “resolver uma inequação” e mais construir corretamente o numerador e o denominador.
- INTERPRETARA segunda peça é sorteada somente entre as casas vazias. Logo, o espaço amostral possui n²−1 posições.
- ESTRUTURARPara ficar na zona de combate, a segunda peça precisa estar na mesma linha ou na mesma coluna da primeira. Há n−1 casas vazias em cada direção, totalizando 2n−2 casos favoráveis.
- ESCOLHER ESTRATÉGIAMonte a probabilidade e simplifique antes de atacar a desigualdade: P = 2n − 2n² − 1. Como 2n − 2 = 2(n−1) e n² − 1 = (n−1)(n+1), temos P = 2n + 1.
- CALCULARA condição é 2n + 1 < 15. Como n ≥ 2, o denominador é positivo. Então 10 < n + 1, isto é, n > 9. O menor inteiro possível é n = 10.
- CONFERIRPara n = 9, P = 210 = 15, mas a questão exige valor inferior a 15, então 9 × 9 não serve. Para n = 10, P = 211 < 15. Alternativa D — 10 × 10.
SEGUNDO CAMINHO
TESTE A FRONTEIRA DAS ALTERNATIVAS
Como as alternativas já fornecem valores de n, existe um caminho de prova muito rápido. Pela simplificação P = 2n + 1, teste a fronteira: para n = 9, P = 15, que não serve porque a condição é estrita. O próximo valor candidato é n = 10, e P = 211 < 15. Portanto, 10 × 10 é imediatamente a dimensão mínima.
NA PROVA EU FARIA ASSIM
1. Eu escreveria: total disponível = n²−1.
2. Zona disponível = 2(n−1).
3. Simplificaria para 2n + 1 < 15 → n > 9. Resposta: 10 × 10.
VOCÊ FEZ 90% DA QUESTÃO — E ERROU AQUI.
O erro mais perigoso é usar 2n−1 como número de casas favoráveis. Essa cruz inclui a própria casa da primeira peça. Como ela já está ocupada, a segunda peça não pode cair ali. O numerador correto é 2n−2.
DISTRATOR PRINCIPAL
IGNORAR QUE A DESIGUALDADE É ESTRITA
9 × 9 é o distrator mais forte. Para n = 9, a probabilidade é exatamente 15. Só que o enunciado pede probabilidade inferior a 15, não menor ou igual.
COMO RECONHECER UMA PARECIDA?
PRIMEIRA JOGADA MUDA O ESPAÇO AMOSTRAL
Em problemas de probabilidade depois de uma primeira escolha, pergunte sempre: o elemento já escolhido ainda faz parte do espaço amostral? Se não faz, tanto o total quanto os casos favoráveis podem mudar.
APRENDIZADO TRANSFERÍVEL
O QUE LEVAR PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
A técnica aparece em sorteios sem reposição, posições ocupadas, grafos, vizinhanças em grades e problemas de “mesma linha ou coluna”. Antes de usar uma fórmula de probabilidade, reconstrua o conjunto de resultados que ainda são realmente possíveis.