DOSSIÊ 900+ · ENEM 2018
Focos de incêndio
Uma leitura completa da questão: o que a torna difícil, onde está a decisão estratégica e como transformar esse raciocínio em repertório para outras questões.
QUESTÃO OFICIAL
ANTES DA ANÁLISE, FAÇA A QUESTÃO.
Para apagar os focos A e B de um incêndio, que estavam a uma distância de 30 m um do outro, os bombeiros de um quartel decidiram se posicionar de modo que a distância de um bombeiro ao foco A, de temperatura mais elevada, fosse sempre o dobro da distância desse bombeiro ao foco B, de temperatura menos elevada.
Nessas condições, a maior distância, em metro, que dois bombeiros poderiam ter entre eles é
Transcrição editorial auditada a partir da prova oficial do ENEM.
DADOS DO INEP · ENEM 2018 · Q161
- Acerto geral
- 11% de 973 mil no caderno azul
- Quem tira 700
- 13% acerta
- Quem tira 800
- 26% acerta
- Parâmetro b
- 948 valor do Inep
#18 de 588 · entre as 45. Microdados do ENEM 2018 (Inep). Retrato da prova aplicada, não previsão de nota.
APOIO GEOMÉTRICO
A FRASE DO ENUNCIADO ESCONDE UMA CIRCUNFERÊNCIA.
A questão original não traz desenho. Este apoio reconstrói apenas a relação geométrica necessária: PA = 2·PB.
MAPA DA QUESTÃO
ANTES DE RESOLVER, ENTENDA O TERRENO.
O texto convida a imaginar posições isoladas, quando o problema é sobre o conjunto de todas as posições possíveis.
Uma razão fixa entre distâncias a dois pontos determina uma circunferência de Apolônio.
Mesmo depois de achar raio 20 m, o comando pede a maior distância entre dois bombeiros: o diâmetro.
IDENTIFICAÇÃO
A QUESTÃO EM UMA LINHA
- Caderno
- Caderno 7 · Azul
- Questão
- 161
- Gabarito
- B
- Conteúdo
- Geometria analítica · Geometria plana
- Subconteúdo
- Lugar geométrico · circunferência de Apolônio · distância entre pontos
DIFICULDADE
ONDE A DIFICULDADE REALMENTE MORA
Como ler o b? É o parâmetro de dificuldade que o Inep calcula para cada questão, posto na escala da nota de Matemática. Perto dessa nota, um aluno passa a ter boa chance de acertar. Quanto maior o b, mais alta a nota de quem costuma acertar. A causa dominante, ao lado, é a leitura do Prof. Rafael sobre por que a questão é difícil; ela não entra na posição.
Também pesa: Insight · reconhecimento estrutural
POR QUE É DIFÍCIL?
A CONTA NÃO É O PRIMEIRO PROBLEMA
- O enunciado parece descrever uma situação operacional dos bombeiros, mas a pergunta real é de lugar geométrico: quais pontos do plano satisfazem uma razão fixa de distâncias?
- A condição PA = 2·PB não produz uma reta. Como a razão é diferente de 1, o conjunto de posições é uma circunferência.
- Há uma segunda decisão depois da modelagem: a pergunta não pede o raio da circunferência, mas a maior distância entre dois pontos dela, isto é, o diâmetro.
ANTES DA CONTA
Coloque os focos sobre um eixo: A = (0,0) e B = (30,0). Depois represente um bombeiro por P = (x,y). A frase do enunciado vira uma única equação: PA = 2·PB.
dado fixo do problema
define o lugar geométrico
é o diâmetro da circunferência
Não procure dois bombeiros. Primeiro descubra onde qualquer bombeiro pode estar.
DICAS PROGRESSIVAS
ABRA SÓ O QUE PRECISAR
DICA 01
Se dois pontos fixos A e B aparecem numa condição de distâncias, pergunte primeiro: que lugar geométrico essa condição produz?
DICA 02
Escreva PA² = 4·PB². Usar os quadrados elimina as raízes e transforma o problema numa equação de segundo grau em x e y.
DICA 03
Depois de completar quadrados, você encontrará uma circunferência de raio 20 m. A pergunta pede a maior distância entre dois bombeiros nessa circunferência.
RESOLUÇÃO PADRÃO OURO
DA RAZÃO DE DISTÂNCIAS À CIRCUNFERÊNCIA
A conta só fica simples depois que a frase “o dobro da distância” é traduzida para um lugar geométrico.
- INTERPRETAROs focos A e B estão a 30 m. Para qualquer posição P permitida, a distância até A deve ser o dobro da distância até B: PA = 2·PB. Portanto, não buscamos um único ponto: buscamos o conjunto de todos os pontos que satisfazem essa relação.
- ESTRUTURAREscolha A = (0,0), B = (30,0) e P = (x,y). Então PA² = x² + y² e PB² = (x − 30)² + y². Como PA = 2·PB, podemos escrever PA² = 4·PB².
- ESCOLHER ESTRATÉGIAO objetivo é transformar a condição de distâncias na forma padrão de uma circunferência. Substituir os quadrados das distâncias evita raízes e deixa a estrutura geométrica aparecer diretamente.
- CALCULARSubstituindo: x² + y² = 4[(x − 30)² + y²]. Desenvolvendo e simplificando: x² − 80x + y² + 1200 = 0. Completando o quadrado: (x − 40)² + y² = 400. Logo, o lugar geométrico é uma circunferência de raio 20 m. A maior distância entre dois pontos dessa circunferência é seu diâmetro: 40 m.
- CONFERIRNa própria reta AB, os pontos x = 20 e x = 60 satisfazem a razão 2:1. Em x = 20: as distâncias são 20 m e 10 m. Em x = 60: são 60 m e 30 m. Esses pontos são extremos de um diâmetro e estão separados por 40 m. Alternativa B.
SEGUNDO CAMINHO
ENCONTRAR OS EXTREMOS NA RETA AB
Há um caminho muito econômico na reta que contém A e B. Entre os focos, se a posição está a x metros de A, temos x = 2(30 − x), logo x = 20. Depois de B, temos x = 2(x − 30), logo x = 60. Esses dois pontos satisfazem a condição e ficam a 40 m entre si. Para justificar que essa é a maior distância possível, reconheça que o lugar geométrico é uma circunferência: esses pontos são extremos de seu diâmetro.
NA PROVA EU FARIA ASSIM
1. Eu traduziria imediatamente a frase para PA = 2·PB.
2. Se lembrasse do lugar geométrico, iria direto para a circunferência de Apolônio. Se não lembrasse, colocaria A e B no eixo x e elevaria a relação ao quadrado.
3. Ao encontrar raio 20 m, faria uma última leitura do comando: ele pede a maior distância entre dois bombeiros. Portanto, 2r = 40 m.
VOCÊ FEZ 90% DA QUESTÃO — E ERROU AQUI.
O erro clássico é modelar corretamente, chegar à circunferência de raio 20 m e parar ali. A pergunta não pede a distância do centro a um bombeiro. Pede a maior distância entre dois bombeiros que podem ocupar pontos desse lugar geométrico. Essa distância é o diâmetro: 40 m.
DISTRATOR PRINCIPAL
ACHAR O RAIO E ESQUECER O QUE FOI PEDIDO
O valor 20 m é matematicamente correto — mas é o raio. Ele captura quem executa toda a álgebra e não volta ao comando da questão.
COMO RECONHECER UMA PARECIDA?
DOIS PONTOS FIXOS + RAZÃO DE DISTÂNCIAS
Sempre que aparecerem dois pontos fixos e uma condição envolvendo distâncias até eles, procure um lugar geométrico. Razão 1:1 produz mediatriz; razão fixa diferente de 1 produz uma circunferência.
APRENDIZADO TRANSFERÍVEL
O QUE LEVAR PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
Lugar geométrico é uma forma de trocar infinitas posições por uma única figura. O ganho estratégico é enorme: depois que você reconhece a circunferência, a pergunta “maior distância entre dois pontos” vira simplesmente diâmetro.