C=(2,-3).
O sinal dentro do parêntese aparece invertido na leitura da coordenada.
CIRCUNFERÊNCIAUma circunferência é
Uma circunferência é
uma distância fixa.
A equação da circunferência nasce da própria definição: todos os seus pontos estão à mesma distância de um centro.
EQUAÇÃO REDUZIDA
Centro C(a,b) e raio r.
\[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\]
Ela é simplesmente a fórmula da distância entre o ponto genérico P=(x,y) e o centro C=(a,b), igualada ao raio.
Leia centro e raio diretamente da equação.
\[(x-2)^2+(y+3)^2=25\]
r=5.
O lado direito é 25=r².
Leia a equação nos dois sentidos.
Além de extrair centro e raio, também precisamos saber construir e reorganizar equações.
Centro (-2,4) e raio 3.
\[(x+2)^2+(y-4)^2=9\]
O sinal dentro do parêntese é oposto à coordenada do centro.
Da forma expandida para a forma reduzida.
Considere:
\[x^2+y^2-6x+4y-12=0\]
\[(x-3)^2+(y+2)^2=25\]
Assim, C=(3,-2) e r=5.
CONSTRUIR A EQUAÇÃO
Centro e ponto conhecido determinam o raio.
Uma circunferência tem centro C=(1,2) e passa por P=(4,6).
\[r=CP=\sqrt{3^2+4^2}=5\]
\[(x-1)^2+(y-2)^2=25\]
Compare a distância ao centro com o raio.
CP < r
O ponto fica dentro da circunferência.
CP = r
O ponto está sobre a circunferência.
CP > r
O ponto fica fora.
EXEMPLO DE POSIÇÃO
Classifique um ponto sem calcular a raiz.
Na circunferência (x-1)²+(y+2)²=25, considere P=(4,2).
\[(4-1)^2+(2+2)^2=9+16=25\]
Como o resultado é exatamente r², P pertence à circunferência.
EXEMPLO INTERMEDIÁRIO
O ponto P=(5,2) pertence a (x-1)²+(y-2)²=16?
\[(5-1)^2+(2-2)^2=16\]
\[16=16\]
Sim. O ponto está exatamente sobre a circunferência.
Centro sobre um eixo pode simplificar a equação.
Uma circunferência tem centro sobre o eixo x, passa por P=(2,3) e Q=(8,3). Como P e Q estão na mesma horizontal, o centro está no ponto médio da projeção entre eles:
\[C=(5,0)\]
\[r^2=(5-2)^2+(0-3)^2=18\]
\[(x-5)^2+y^2=18\]
Aqui, simetria e ponto médio reduzem a quantidade de álgebra.
SITUAÇÃO ESTRATÉGICAΔ > 0 Δ = 0 Δ < 0
Reta e circunferência: o número de interseções muda.
Ao substituir a equação da reta na circunferência, surge uma equação do 2º grau.
Secante.
Duas interseções.
Tangente.
Uma interseção.
Externa.
Nenhuma interseção real.