DOSSIÊ 900+ · ENEM 2025
Presentes
Uma leitura completa da questão: o que a torna difícil, onde está a decisão estratégica e como transformar esse raciocínio em repertório para outras questões.
QUESTÃO OFICIAL
ANTES DA ANÁLISE, FAÇA A QUESTÃO.
Um pai comprou oito presentes diferentes, entre eles uma bicicleta e um celular, para distribuir entre seus três filhos. O filho mais velho e o mais novo receberão três presentes cada um, enquanto o filho do meio receberá os dois presentes restantes.
O filho mais velho receberá, entre seus presentes, ou a bicicleta ou o celular, mas não ambos.
De quantas maneiras distintas essa distribuição pode ser feita?
Transcrição editorial auditada a partir da prova oficial do ENEM.
DADOS DO INEP · ENEM 2025 · Q175
- Acerto geral
- 15% de 793 mil no caderno azul
- Quem tira 700
- 16% acerta
- Quem tira 800
- 19% acerta
- Parâmetro b
- 949 valor do Inep
#17 de 588 · entre as 45. Microdados do ENEM 2025 (Inep). Retrato da prova aplicada, não previsão de nota.
APOIO DE CONTAGEM
A RESTRIÇÃO VEM ANTES DA DISTRIBUIÇÃO.
O mais velho precisa receber exatamente um dos dois presentes especiais. Depois disso, o restante vira uma contagem por escolhas sucessivas.
MAPA DA QUESTÃO
ANTES DE RESOLVER, ENTENDA O TERRENO.
Se você tentar distribuir tudo de uma vez, a restrição da bicicleta e do celular fica escondida no meio da conta.
O mais velho deve receber exatamente um entre bicicleta e celular. Essa escolha quebra o problema em dois casos simétricos.
Os presentes recebidos por um mesmo filho formam um conjunto; a ordem em que são escolhidos não cria uma nova distribuição.
IDENTIFICAÇÃO
A QUESTÃO EM UMA LINHA
- Caderno
- Caderno 7 · Azul
- Questão
- 175
- Gabarito
- C
- Conteúdo
- Análise combinatória
- Subconteúdo
- Distribuição de objetos distintos · combinação · restrição exclusiva
DIFICULDADE
ONDE A DIFICULDADE REALMENTE MORA
Como ler o b? É o parâmetro de dificuldade que o Inep calcula para cada questão, posto na escala da nota de Matemática. Perto dessa nota, um aluno passa a ter boa chance de acertar. Quanto maior o b, mais alta a nota de quem costuma acertar. A causa dominante, ao lado, é a leitura do Prof. Rafael sobre por que a questão é difícil; ela não entra na posição.
Também pesa: Organização de casos · princípio multiplicativo
POR QUE É DIFÍCIL?
A CONTA NÃO É O PRIMEIRO PROBLEMA
- A presença de oito presentes diferentes e três filhos sugere uma contagem grande, mas a dificuldade real não é o tamanho do espaço de possibilidades: é incorporar corretamente a restrição do filho mais velho.
- A expressão “ou bicicleta ou celular, mas não ambos” significa exatamente um dos dois. Isso gera dois casos simétricos, e não três possibilidades.
- Mesmo depois de organizar a restrição, é preciso lembrar que a distribuição dentro de cada filho é feita por combinações, porque trocar a ordem dos presentes não cria uma nova distribuição.
ANTES DA CONTA
Não distribua os oito presentes de uma vez. Primeiro satisfaça a condição mais rígida: o filho mais velho recebe exatamente um entre bicicleta e celular. Há 2 escolhas. Depois complete os três presentes dele e só então distribua os restantes.
exatamente um vai para o mais velho
escolher 2 entre os 6 presentes comuns
depois restam 5 presentes disponíveis
Quando aparece “um ou outro, mas não ambos”, resolva essa restrição antes de começar a distribuir o restante.
DICAS PROGRESSIVAS
ABRA SÓ O QUE PRECISAR
DICA 01
Escolha qual dos dois presentes especiais vai para o filho mais velho: 2 possibilidades.
DICA 02
Depois disso, ele precisa de mais dois presentes escolhidos entre os 6 presentes comuns: C(6,2)=15.
DICA 03
Restam 5 presentes. Escolha 2 para o filho do meio: C(5,2)=10. Os três últimos vão automaticamente para o mais novo.
RESOLUÇÃO PADRÃO OURO
TRAVE A RESTRIÇÃO ANTES DE CONTAR
O problema fica curto quando você resolve primeiro a única condição que distingue bicicleta e celular dos demais presentes.
- INTERPRETAROs oito presentes são distintos. O mais velho recebe 3, o do meio recebe 2 e o mais novo recebe 3. Além disso, o mais velho deve ficar com exatamente um dos dois presentes especiais.
- ESTRUTURARComeçamos pela restrição: para o mais velho há 2 escolhas de presente especial — bicicleta ou celular. Depois de escolhê-lo, ficam 6 presentes comuns disponíveis para completar os 3 presentes do mais velho.
- ESCOLHER ESTRATÉGIAComo a ordem dos presentes dentro de cada filho não importa, usamos combinações. Com o presente especial já fixado, escolhemos 2 dos 6 presentes comuns para o mais velho e depois 2 dos 5 presentes restantes para o filho do meio.
- CALCULAR2 · C(6,2) · C(5,2) = 2 · 15 · 10 = 300. Os três presentes que sobrarem ficam automaticamente com o filho mais novo.
- CONFERIREm cada distribuição contada, o mais velho recebe exatamente 3 presentes e contém exatamente um entre bicicleta e celular; o filho do meio recebe 2; o mais novo recebe os 3 restantes. Logo são 300 distribuições. Alternativa C.
SEGUNDO CAMINHO
ESCOLHER O CONJUNTO DO MAIS VELHO DE UMA VEZ
Também é possível escolher primeiro os 3 presentes do mais velho. Para que ele tenha exatamente um dos dois especiais, escolha 1 dos 2 especiais e 2 dos 6 comuns: 2·C(6,2)=30 grupos possíveis. Para cada grupo do mais velho, escolha 2 dos 5 presentes restantes para o filho do meio: 30·10=300.
NA PROVA EU FARIA ASSIM
1. Eu circularia no enunciado: “ou bicicleta ou celular, mas não ambos”.
2. Faria 2 · C(6,2) para montar o conjunto do mais velho.
3. Dos 5 restantes, escolheria 2 para o filho do meio: 2 · 15 · 10 = 300. Alternativa C.
VOCÊ FEZ 90% DA QUESTÃO — E ERROU AQUI.
Um erro comum é escolher os 3 presentes do mais velho entre os 8 e só depois tentar retirar os casos inválidos. Isso funciona, mas aumenta muito a chance de dupla contagem. Outro erro é usar arranjo no lugar de combinação e contar como diferentes duas distribuições que apenas trocaram a ordem dos presentes dentro do mesmo filho.
DISTRATOR PRINCIPAL
CONTAR MAIS DO QUE A DISTRIBUIÇÃO REAL
A alternativa 360 é compatível com uma contagem em que a restrição exclusiva é incorporada de forma incompleta ou em que se introduz uma multiplicação extra indevida na distribuição dos presentes restantes.
COMO RECONHECER UMA PARECIDA?
RESTRIÇÃO FORTE PRIMEIRO; DISTRIBUIÇÃO DEPOIS
Em problemas de distribuição com objetos distintos, procure primeiro por palavras que criam restrições fortes: “exatamente”, “pelo menos”, “não ambos”, “um de cada”, “juntos” ou “separados”. Essas condições devem ser resolvidas antes da contagem geral.
APRENDIZADO TRANSFERÍVEL
O QUE LEVAR PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
O método aparece em distribuição de pessoas, senhas, equipes e presentes: fixe primeiro os elementos especiais, depois use combinações ou o princípio multiplicativo para o restante. Isso reduz casos e evita correções por exclusão no final.