DOSSIÊ 900+ · ENEM 2018

Empréstimo antecipado

09 de 588 pelo b do Inep 1.000 b do Inep
GABARITOC PARÂMETRO Bb 1.000 (Inep) · #9 CAUSA DOMINANTETradução financeira

Uma leitura completa da questão: o que a torna difícil, onde está a decisão estratégica e como transformar esse raciocínio em repertório para outras questões.

QUESTÃO OFICIAL

ANTES DA ANÁLISE, FAÇA A QUESTÃO.

ENEM 2018 Caderno 7 · Azul Q137

Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de forma antecipada, conceder-se-á uma redução de juros de acordo com o período de antecipação. Nesse caso, paga-se o valor presente, que é o valor, naquele momento, de uma quantia que deveria ser paga em uma data futura. Um valor presente P submetido a juros compostos com taxa i, por um período de tempo n, produz um valor futuro V determinado pela fórmula

V = P · (1 + i)n

Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fixas mensais, de R$ 820,00, a uma taxa de juros de 1,32% ao mês, junto com a trigésima parcela será paga antecipadamente uma outra parcela, desde que o desconto seja superior a 25% do valor da parcela.

Utilize 0,2877 como aproximação para ln(43) e 0,0131 como aproximação para ln(1,0132).

A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a 30ª é a

A
56ª.
B
55ª.
C
52ª.
D
51ª.
E
45ª.

Transcrição editorial auditada a partir da prova oficial do ENEM.

DADOS DO INEP · ENEM 2018 · Q137

Acerto geral
24%
de 973 mil no caderno azul
Quem tira 700
30%
acerta
Quem tira 800
39%
acerta
Parâmetro b
1.000
valor do Inep

#9 de 588 · entre as 45. Microdados do ENEM 2018 (Inep). Retrato da prova aplicada, não previsão de nota.

APOIO VISUAL

n NÃO É A PARCELA. É A DISTÂNCIA ATÉ ELA.

O ponto decisivo é converter “pagar junto com a 30ª” em tempo de antecipação. A 52ª está 22 meses à frente da 30ª.

Linha do tempo da 30ª à 52ª parcela, mostrando 22 meses de antecipação e o critério de desconto superior a 25 por cento.
Apoio didático · ENEM 2018 · Caderno 7 Azul · Q137. Toque ou clique para ampliar.

MAPA DA QUESTÃO

ANTES DE RESOLVER, ENTENDA O TERRENO.

O QUE PARECE DIFÍCIL Juros compostos + logaritmo

A fórmula é simples; a dificuldade está em traduzir corretamente o desconto e o tempo.

O QUE REALMENTE DECIDE Desconto > 25%

Isso significa pagar hoje menos de 75% do valor nominal da parcela.

ONDE SE PERDE A QUESTÃO Confundir n com o número da parcela

n conta meses de antecipação a partir da 30ª.

IDENTIFICAÇÃO

A QUESTÃO EM UMA LINHA

Caderno
Caderno 7 · Azul
Questão
137
Gabarito
C
Conteúdo
Matemática financeira · Logaritmos
Subconteúdo
Valor presente · juros compostos · inequação logarítmica

DIFICULDADE

ONDE A DIFICULDADE REALMENTE MORA

PARÂMETRO Bb 1.000 (Inep) · #9#9 de 588 · entre as 45
CAUSA DOMINANTETradução financeira

Como ler o b? É o parâmetro de dificuldade que o Inep calcula para cada questão, posto na escala da nota de Matemática. Perto dessa nota, um aluno passa a ter boa chance de acertar. Quanto maior o b, mais alta a nota de quem costuma acertar. A causa dominante, ao lado, é a leitura do Prof. Rafael sobre por que a questão é difícil; ela não entra na posição.

Também pesa: Valor presente · desconto · contagem temporal

POR QUE É DIFÍCIL?

A CONTA NÃO É O PRIMEIRO PROBLEMA

  • O enunciado fala em desconto, mas a fórmula fornecida relaciona valor presente e valor futuro. É preciso conectar as duas linguagens.
  • O desconto ser superior a 25% significa que o valor pago hoje deve ser inferior a 75% de R$ 820.
  • O n da fórmula mede o tempo entre a antecipação e o vencimento. Depois de encontrar n, ainda falta converter esse intervalo no número da parcela.

ANTES DA CONTA

A parcela vale R$ 820 no vencimento. Para o desconto superar 25%, o valor presente deve ser menor que 0,75 · 820 = 615. Escreva então 820 = P · 1,0132n com P < 615.

820
VALOR FUTURO parcela nominal

é o que seria pago na data normal

< 75%
VALOR PRESENTE P < 615

desconto superior a 25%

n
TEMPO DE ANTECIPAÇÃO parcela − 30

não é o número absoluto da parcela

A questão é resolvida quando você traduz duas frases: “desconto superior a 25%” vira P < 0,75·820; “junto com a 30ª” vira n = número da parcela − 30.

DICAS PROGRESSIVAS

ABRA SÓ O QUE PRECISAR

DICA 01

Desconto de mais de 25% significa pagar menos de 75% do valor nominal.

DICA 02

Da fórmula V = P(1+i)n, isole P e compare com 615.

DICA 03

Depois de achar o menor n inteiro, some esse intervalo a 30 para descobrir qual parcela é a primeira elegível.

RESOLUÇÃO PADRÃO OURO

RESOLUÇÃO PADRÃO OURO

Aqui a álgebra é curta. O desafio é traduzir desconto e calendário antes de operar.

  1. INTERPRETAR
    O valor futuro da parcela é R$ 820. Desconto superior a 25% exige P < 0,75 · 820 = 615.
  2. ESTRUTURAR
    Com taxa mensal de 1,32%, 820 = P · 1,0132n. Logo, P = 8201,0132n.
  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA
    Imponha o desconto: 8201,0132n < 615. Dividindo por 820, obtemos 11,0132n < 34, ou equivalentemente 1,0132n > 43.
  4. CALCULAR
    Aplicando ln: n · ln(1,0132) > ln(43). Portanto, 0,0131n > 0,2877, de onde n > 21,96. O menor inteiro é n = 22.
  5. CONFERIR
    A antecipação ocorre junto com a 30ª parcela. Vinte e dois meses depois está a 30 + 22 = 52ª. Como n > 21,96, n = 21 ainda não satisfaz a condição e n = 22 é o menor inteiro admissível. Logo, a primeira parcela elegível é a 52ª. Alternativa C.

SEGUNDO CAMINHO

SEGUNDO CAMINHO · PENSE NO FATOR DE DESCONTO

Se o valor presente deve ser menor que 75% do futuro, então o fator de crescimento entre hoje e o vencimento precisa ser maior que 43. Isso leva diretamente a 1,0132n > 43, sem calcular R$ 615 explicitamente.

NA PROVA EU FARIA ASSIM

Eu escreveria duas linhas antes de qualquer logaritmo: desconto > 25% ⇒ pago hoje < 75% e n = parcela procurada − 30. Essas duas traduções evitam quase todos os erros.

VOCÊ FEZ 90% DA QUESTÃO — E ERROU AQUI.

Encontrar n = 22 e marcar “22ª parcela”. O n da fórmula mede quantos meses a parcela foi antecipada a partir da 30ª, não o número absoluto da parcela.

DISTRATOR PRINCIPAL

DISTRATOR PRINCIPAL

D · 51ª. Pode aparecer quando o aluno arredonda 21,96 para 21 ou trata a desigualdade estrita de forma inadequada. Como n deve ser inteiro e n > 21,96, o primeiro valor é 22, levando à 52ª.

COMO RECONHECER UMA PARECIDA?

COMO RECONHECER UMA PARECIDA?

Em antecipação de parcelas, identifique três coisas antes da fórmula: valor no vencimento, percentual máximo que pode ser pago hoje e distância temporal entre hoje e o vencimento.

APRENDIZADO TRANSFERÍVEL

O QUE LEVAR PARA A PRÓXIMA QUESTÃO

Desconto e juros compostos são duas faces da mesma relação temporal. Trazer um valor futuro para o presente significa dividir pelo fator (1+i)n.

ESTRATÉGIA DE TEMPOMeta de prova: 3 minutos. Se você já sabe que “desconto > 25%” equivale a “valor presente < 75%”, a questão vira uma única inequação exponencial.