Base fixa
1.000 a 10% por 3 períodos:
\[M=1000(1+0{,}10\cdot3)=1300\]
CRESCIMENTO MULTIPLICATIVOA taxa se repete.
A taxa se repete.
A base se atualiza.
Nos juros compostos, cada período aplica o mesmo fator sobre o montante do período anterior. A repetição do fator produz crescimento exponencial.
FATOR MULTIPLICATIVO
Taxa é variação; fator é a operação.
Se a taxa é i, o fator de crescimento é 1+i. Uma taxa de 5% corresponde a 0,05 e, portanto, ao fator 1,05.
\[M=C(1+i)^t\]
\[J=M-C\]
A potência aparece porque o mesmo fator é multiplicado sucessivamente.
Veja a atualização período a período.
1.000 reais aplicados a 10% ao período durante 3 períodos:
Início1.000
1º período1.000 × 1,10 = 1.100
2º período1.100 × 1,10 = 1.210
3º período1.210 × 1,10 = 1.331
\[M=1000\cdot1{,}10^3=1331\]
Mesma taxa não significa mesma evolução.
Base atualizada
1.000 a 10% por 3 períodos:
\[M=1000(1{,}10)^3=1331\]
LEITURA: em poucos períodos a diferença pode parecer pequena; com mais tempo, o crescimento exponencial se distancia cada vez mais do linear.
TAXAS EQUIVALENTES
Períodos diferentes exigem fatores equivalentes.
Se 1% ao mês atua durante 12 meses, a taxa anual equivalente satisfaz:
\[1+i_a=(1{,}01)^{12}\]
\[i_a=(1{,}01)^{12}-1\approx0{,}1268\]
Portanto, a taxa equivalente é aproximadamente 12,68% ao ano, e não 12%.
EXEMPLO 02 • PROBLEMA INVERSO
O tempo também pode ser a incógnita.
Um capital dobra a 10% ao período. Quantos períodos são necessários?
\[2=(1{,}10)^t\]
Esse tipo de problema conduz a logaritmos:
\[t=\frac{\log 2}{\log 1{,}10}\approx7{,}27\]
Em períodos inteiros completos, serão necessários 8 períodos para ultrapassar o dobro.
ERROS FREQUENTES
O erro mais comum é tratar crescimento composto como soma.
Multiplicar a taxa pelo tempo.
Isso descreve crescimento simples.
Usar 5 em vez de 0,05.
5% = 0,05; o fator é 1,05.
Converter taxas por regra de três.
Taxas equivalentes preservam fatores acumulados.
Confundir montante e juros.
Depois de encontrar M, use J = M − C quando a pergunta pedir somente os juros.