DOSSIÊ 900+ · ENEM 2016
Liga metálica
Uma leitura completa da questão: o que a torna difícil, onde está a decisão estratégica e como transformar esse raciocínio em repertório para outras questões.
QUESTÃO OFICIAL
ANTES DA ANÁLISE, FAÇA A QUESTÃO.
Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 3 000 °C e diminui 1% de sua temperatura a cada 30 min.
Use 0,477 como aproximação para log10 3 e 1,041 como aproximação para log10 11.
O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30 °C é mais próximo de
Transcrição editorial auditada a partir da prova oficial do ENEM.
DADOS DO INEP · ENEM 2016 · Q160
- Acerto geral
- 23% de 1.446 mil no caderno azul
- Quem tira 700
- 26% acerta
- Quem tira 800
- 33% acerta
- Parâmetro b
- 1.008 valor do Inep
#6 de 588 · entre as 45. Microdados do ENEM 2016 (Inep). Retrato da prova aplicada, não previsão de nota.
APOIO DE MODELAGEM
O 1% QUE SOME VIRA UM FATOR 0,99.
O ponto decisivo é transformar a frase do enunciado em um modelo exponencial e depois usar exatamente os logaritmos que a prova forneceu.
MAPA DA QUESTÃO
ANTES DE RESOLVER, ENTENDA O TERRENO.
Repetir 99% centenas de vezes é inviável na mão. A questão não espera essa abordagem.
Os valores de log 3 e log 11 não estão ali por acaso: juntos, eles permitem calcular log 99 quase instantaneamente.
O expoente conta períodos de 30 minutos. Só no final ele deve ser convertido para horas.
IDENTIFICAÇÃO
A QUESTÃO EM UMA LINHA
- Caderno
- Caderno 7 · Azul
- Questão
- 160
- Gabarito
- D
- Conteúdo
- Função exponencial · Logaritmos
- Subconteúdo
- Decaimento percentual · propriedades operatórias de logaritmos
DIFICULDADE
ONDE A DIFICULDADE REALMENTE MORA
Como ler o b? É o parâmetro de dificuldade que o Inep calcula para cada questão, posto na escala da nota de Matemática. Perto dessa nota, um aluno passa a ter boa chance de acertar. Quanto maior o b, mais alta a nota de quem costuma acertar. A causa dominante, ao lado, é a leitura do Prof. Rafael sobre por que a questão é difícil; ela não entra na posição.
Também pesa: Modelagem · logaritmos
POR QUE É DIFÍCIL?
A CONTA NÃO É O PRIMEIRO PROBLEMA
- O texto parece simples, mas exige reconhecer um decaimento exponencial: diminuir 1% repetidamente não significa subtrair sempre a mesma quantidade.
- Depois de montar a potência, ainda é preciso perceber por que a prova forneceu justamente log 3 e log 11. A chave é escrever 99 = 9 · 11.
- O resultado intermediário é o número de períodos de 30 minutos. Quem esquece essa unidade pode chegar a 400 e marcar a alternativa errada.
ANTES DA CONTA
Não tente calcular 0,99 · 0,99 · 0,99... nem trate a queda como linear. Escreva primeiro a temperatura após n períodos de 30 minutos.T = 3000 · (0,99)n
a cada 30 minutos
o expoente não está em horas
a temperatura cai para 1% da inicial
Os logaritmos fornecidos já entregam a decomposição que você precisa: 99 = 9 · 11.
DICAS PROGRESSIVAS
ABRA SÓ O QUE PRECISAR
DICA 01
A temperatura final é 30 e a inicial é 3000. Dividindo os dois lados por 3000, aparece uma potência igual a 0,01.
DICA 02
Aplique logaritmo nos dois lados. Você precisará de log 0,99. Escreva 0,99 como 99/100.
DICA 03
Use 99 = 9 · 11. Então log 99 = 2 log 3 + log 11. Com os valores fornecidos, isso fica muito perto de 2.
RESOLUÇÃO PADRÃO OURO
USE OS LOGARITMOS QUE A PROVA ESCOLHEU PARA VOCÊ
O cálculo fica curto quando você entende que os números 3 e 11 foram escolhidos para decompor 99 e transformar log(0,99) em uma conta simples.
- INTERPRETARA cada 30 minutos, a liga conserva 99% da temperatura anterior. Portanto, cada intervalo multiplica a temperatura por 0,99. Isso caracteriza um decaimento exponencial.
- ESTRUTURARSe n é o número de intervalos de 30 minutos, então 3000 · (0,99)n = 30. Dividindo por 3000: (0,99)n = 0,01.
- ESCOLHER ESTRATÉGIAA potência não é conveniente para cálculo direto. Aplicamos logaritmo: n · log(0,99) = log(0,01). Agora usamos os valores fornecidos pelo enunciado para calcular log(0,99).
- CALCULARlog(0,99) = log(99) − 2. Como 99 = 9 · 11, temos log(99) = 2log(3) + log(11) ≈ 2·0,477 + 1,041 = 1,995. Logo, log(0,99) ≈ −0,005. Além disso, log(0,01) = −2. Portanto, n = (−2)/(−0,005) = 400 intervalos de 30 minutos.
- CONFERIRSão 400 períodos de meia hora. Em horas: 400 · 0,5 = 200 h. Portanto, a alternativa correta é D.
SEGUNDO CAMINHO
ESTIMAR A ORDEM DE GRANDEZA
Uma estimativa também confirma a ordem de grandeza. Para pequenas taxas, (0,99)100 fica aproximadamente próximo de e−1, cerca de 0,37. Para chegar a 0,01, são necessários pouco mais de quatro blocos de 100 períodos, isto é, algo perto de 400 períodos. Como cada período dura meia hora, o tempo deve ficar próximo de 200 h. Essa via é boa para conferência, mas não substitui a solução exata pedida pelos dados do enunciado.
NA PROVA EU FARIA ASSIM
1. Eu escreveria imediatamente 3000·(0,99)n = 30.
2. Dividiria por 3000: (0,99)n = 0,01.
3. Aplicaria log e usaria 99 = 9·11: log 99 ≈ 1,995, então log 0,99 ≈ −0,005. Daí n = 400 meias-horas = 200 h. Alternativa D.
VOCÊ FEZ 90% DA QUESTÃO — E ERROU AQUI.
Você pode montar a equação e resolver o logaritmo corretamente, obtendo n = 400, e ainda errar a questão. O motivo: n não está em horas. Ele conta quantos intervalos de 30 minutos ocorreram. O resultado final é 200 h.
DISTRATOR PRINCIPAL
PARAR UMA ETAPA ANTES DA RESPOSTA
A alternativa 400 captura exatamente quem encontra corretamente os 400 intervalos de decaimento, mas esquece de converter cada intervalo de 30 minutos para meia hora.
COMO RECONHECER UMA PARECIDA?
PORCENTAGEM REPETIDA → EXPONENCIAL
Quando uma quantidade aumenta ou diminui por uma porcentagem fixa a cada intervalo, pense em multiplicação repetida e função exponencial. Se a incógnita estiver no expoente, logaritmos entram naturalmente.
APRENDIZADO TRANSFERÍVEL
O QUE LEVAR PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
O mesmo modelo aparece em juros compostos, crescimento populacional, meia-vida, depreciação e resfriamentos simplificados. O padrão é valor inicial × fatorn = valor final; depois, se n for desconhecido, use logaritmos.