DOSSIÊ 900+ · ENEM 2017
Logomarca
Uma leitura completa da questão: o que a torna difícil, onde está a decisão estratégica e como transformar esse raciocínio em repertório para outras questões.
QUESTÃO OFICIAL
ANTES DA ANÁLISE, FAÇA A QUESTÃO.
O comitê organizador da Copa do Mundo 2014 criou a logomarca da Copa, composta de uma figura plana e o slogan “Juntos num só ritmo”, com mãos que se unem formando a taça Fifa. Considere que o comitê organizador resolvesse utilizar todas as cores da bandeira nacional (verde, amarelo, azul e branco) para colorir a logomarca, de forma que regiões vizinhas tenham cores diferentes.
De quantas maneiras diferentes o comitê organizador da Copa poderia pintar a logomarca com as cores citadas?
Transcrição editorial auditada a partir da prova oficial do ENEM.
DADOS DO INEP · ENEM 2017 · Q160
- Acerto geral
- 6,5% de 1.107 mil no caderno azul
- Quem tira 700
- 11% acerta
- Quem tira 800
- 27% acerta
- Parâmetro b
- 930 medido nos microdados
#24 de 588 · entre as 45. Microdados do ENEM 2017 (Inep). Retrato da prova aplicada, não previsão de nota.
APOIO VISUAL
A FIGURA VIRA UMA CADEIA DE 6 REGIÕES.
Depois de identificar a ordem de vizinhança, a contagem deixa de ser visual: são 4 escolhas na primeira região e 3 em cada uma das cinco seguintes.
MAPA DA QUESTÃO
ANTES DE RESOLVER, ENTENDA O TERRENO.
A logomarca distrai porque parece exigir analisar muitas fronteiras ao mesmo tempo.
A estrutura útil é uma cadeia: cada nova região só precisa diferir da vizinha anterior.
O gabarito oficial trata as quatro cores como paleta disponível; exigir que todas apareçam muda a contagem.
IDENTIFICAÇÃO
A QUESTÃO EM UMA LINHA
- Caderno
- Caderno 7 · Azul
- Questão
- 160
- Gabarito
- E
- Conteúdo
- Análise combinatória
- Subconteúdo
- Princípio Fundamental da Contagem · coloração de regiões · restrição de vizinhança
DIFICULDADE
ONDE A DIFICULDADE REALMENTE MORA
Como ler o b? É o parâmetro de dificuldade que o Inep calcula para cada questão, posto na escala da nota de Matemática. Perto dessa nota, um aluno passa a ter boa chance de acertar. Quanto maior o b, mais alta a nota de quem costuma acertar. A causa dominante, ao lado, é a leitura do Prof. Rafael sobre por que a questão é difícil; ela não entra na posição.
Também pesa: Vizinhança · leitura da figura · interpretação do uso das cores
POR QUE É DIFÍCIL?
A CONTA NÃO É O PRIMEIRO PROBLEMA
- A figura esconde uma estrutura combinatória muito simples: uma cadeia de seis regiões sucessivamente vizinhas.
- O aluno pode tentar escolher cores “por desenho”, quando o que decide é apenas a restrição local de não repetir a cor da região anterior.
- Há uma ambiguidade textual real: se “utilizar todas as cores” significasse exigir que as quatro aparecessem ao menos uma vez, o total seria 600. O gabarito oficial E = 972 corresponde à leitura de que as quatro cores formam a paleta disponível.
ANTES DA CONTA
Numere mentalmente as seis regiões em ordem de vizinhança. Para a primeira há 4 cores. Em cada uma das cinco seguintes, a única proibição é repetir a cor da região vizinha anterior: restam 3 escolhas.
organize pela vizinhança
qualquer cor da paleta
não repetir a vizinha anterior
Pare de enxergar a taça inteira. Transforme a figura em uma sequência de decisões locais: primeira região com 4 opções; cada próxima com 3.
DICAS PROGRESSIVAS
ABRA SÓ O QUE PRECISAR
DICA 01
Quantas regiões independentes de escolha aparecem quando você percorre a figura de uma extremidade à outra?
DICA 02
Depois de escolher uma cor para a primeira região, quantas cores continuam permitidas para a próxima?
DICA 03
A contagem oficial é um produto: 4 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3.
RESOLUÇÃO PADRÃO OURO
RESOLUÇÃO PASSO A PASSO
Organize o raciocínio antes da conta.
- INTERPRETARRegiões vizinhas precisam ter cores diferentes. O objetivo é contar colorações válidas da sequência de seis regiões.
- ESTRUTURARPercorrendo a figura em ordem, a primeira região pode receber qualquer uma das 4 cores. Cada região seguinte é vizinha da anterior e, portanto, não pode repetir sua cor.
- ESCOLHER ESTRATÉGIAUse o Princípio Fundamental da Contagem: multiplique o número de escolhas de cada etapa sucessiva.
- CALCULARA contagem adotada pelo gabarito oficial é 4 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 4 · 35 = 972.
- CONFERIRO resultado coincide com a alternativa E. Observação de auditoria: se todas as quatro cores fossem obrigatórias na figura, seria necessário usar inclusão-exclusão e o total seria 600; essa não é a interpretação adotada pelo gabarito oficial.
SEGUNDO CAMINHO
SEGUNDO CAMINHO
Pense como uma caminhada pelas regiões: escolha a cor inicial de 4 maneiras. A cada passo, qualquer cor serve menos a usada imediatamente antes. São cinco passos com 3 opções: 4 · 35 = 972.
NA PROVA EU FARIA ASSIM
VOCÊ FEZ 90% DA QUESTÃO — E ERROU AQUI.
DISTRATOR PRINCIPAL
DISTRATOR PRINCIPAL
O maior distrator é a própria linguagem “utilizar todas as cores”. Ela pode induzir uma restrição adicional que o item oficial não computou.
COMO RECONHECER UMA PARECIDA?
RECONHEÇA A ESTRUTURA
Questões de coloração ficam simples quando o grafo de adjacências é uma cadeia: primeira posição com k escolhas e cada seguinte com k − 1.
APRENDIZADO TRANSFERÍVEL
O QUE LEVAR PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
Antes de contar, descubra a estrutura de dependência. Se cada nova escolha depende apenas da anterior, quase sempre o PFC resolve.