Cercar é perímetro. Cobrir é área. O resto é saber recortar.

1. INTERPRETAR

   O que a questão quer de verdade: a diferença entre a área do garrafão retangular e a do trapezoidal.

2. ESTRUTURAR
   • Trapézio: bases 600 cm e 360 cm, altura 580 cm.
   • Retângulo: 490 cm por 580 cm.
3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

   Calcular as duas áreas e subtrair.

   A armadilha: tratar o trapézio como um retângulo de 600 por 580 e concluir por uma diminuição de 63 800 cm² (alternativa D).

4. CALCULAR
   \[A_{\text{trapézio}} = \frac{(600 + 360) \cdot 580}{2} = 480 \cdot 580 = 278\,400\ \text{cm}^2\]
   \[A_{\text{retângulo}} = 490 \cdot 580 = 284\,200\ \text{cm}^2\]
   \[284\,200 - 278\,400 = 5\,800\ \text{cm}^2\ \text{(aumento)}\]
5. CONFERIR

   As duas figuras têm a mesma altura 580; basta comparar 490 com a base média 480: \(10 \cdot 580 = 5\,800\) ✓.

Resposta: A

1. INTERPRETAR

   O que a questão quer de verdade: achar as diagonais pelo lado e calcular a área.

2. ESTRUTURAR

   Diagonal menor \(d\), maior \(3d\). Num dos 4 triângulos retângulos:

   \[\left(\frac{d}{2}\right)^2 + \left(\frac{3d}{2}\right)^2 = 25^2\]
3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

   Achar \(d^2\) e usar direto na área (não precisa achar \(d\)).

   A armadilha: tentar calcular \(d = \sqrt{250}\) e se perder na raiz.

4. CALCULAR
   \[\frac{d^2}{4} + \frac{9d^2}{4} = 625\]
   \[\frac{10d^2}{4} = 625 \;\Rightarrow\; d^2 = 250\]
   \[\text{Área} = \frac{d \cdot 3d}{2} = \frac{3d^2}{2} = \frac{3 \cdot 250}{2} = 375 \text{ cm}^2\]
5. CONFERIR

   \(d \approx 15{,}8\) e \(3d \approx 47{,}4\); \(\tfrac{15{,}8 \cdot 47{,}4}{2} \approx 375\). ✓

Resposta: A

1. INTERPRETAR

   O que a questão quer de verdade: a área do losango entre os hexágonos, usando a área de cada hexágono.

2. ESTRUTURAR

   • Triângulo equilátero do hexágono: \(\frac{48}{6} = 8\) cm².

   • Os lados AD, AB, CD e CB e a diagonal DB são lados de hexágonos, então todos medem \(\ell\), o lado do hexágono.

3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

   Mostrar que o losango é feito de dois triângulos equiláteros do mesmo tamanho dos do hexágono.

   A armadilha: marcar 8, a área de um triângulo só. O losango tem dois.

4. CALCULAR

   DB é o lado comum entre os hexágonos de cima e de baixo, então \(DB = \ell\). Com \(AD = AB = \ell\), o triângulo ABD é equilátero, e o mesmo vale para CBD.

   \[[ABCD] = 2 \cdot 8 = 16 \text{ cm}^2\]
5. CONFERIR

   Pelas medidas: \(48 = \frac{3\sqrt3}{2}\ell^2 \Rightarrow \ell^2 = \frac{32}{\sqrt3}\). O losango tem diagonais \(\ell\) e \(\ell\sqrt3\): área \(\frac{\ell^2\sqrt3}{2} = \frac{32}{\sqrt3} \cdot \frac{\sqrt3}{2} = 16\) ✓.

   Por que as outras tentam: 8 é um triângulo só; 24 é meio hexágono.

Resposta: C

1. INTERPRETAR

   O que a questão quer de verdade: com a mesma cerca de k metros, calcular a área das três formas e ver qual é a maior.

2. ESTRUTURAR

   • Triângulo: lado \(\frac{k}{3}\).

   • Quadrado: lado \(\frac{k}{4}\).

   • Hexágono: lado \(\frac{k}{6}\).

3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

   Calcular as três áreas com o lado certo de cada uma e comparar os coeficientes de \(k^2\).

   A armadilha: usar k como lado, e não como perímetro. É assim que aparecem as áreas das alternativas B e E. A cerca de k metros dá a volta inteira, então cada lado é uma fração de k.

4. CALCULAR
   \[A_{\triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{k}{3}\right)^2 = \frac{k^2\sqrt{3}}{36} \approx 0{,}048\,k^2\]
   \[A_{\square} = \left(\frac{k}{4}\right)^2 = \frac{k^2}{16} \approx 0{,}063\,k^2\]
   \[A_{\text{hex}} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{k}{6}\right)^2 = \frac{6\sqrt{3}\,k^2}{144} = \frac{k^2\sqrt{3}}{24} \approx 0{,}072\,k^2\]
5. CONFERIR

   A ordem triângulo < quadrado < hexágono confirma a regra: com a mesma cerca, mais lados dá mais área (o máximo seria o círculo) ✓. As áreas das alternativas C e D estão certas, mas não são as maiores.

Resposta: A

1. INTERPRETAR

   O que a questão quer de verdade: a área do triângulo TRX, com T no alto, R à direita e X no cruzamento das diagonais.

2. ESTRUTURAR

   • Em R: ângulo entre o lado RT e a diagonal RX: 36°.

   • Em T: ângulo entre o lado TR e a diagonal TX: 72°.

   • Em X: \(180^\circ - 36^\circ - 72^\circ = 72^\circ\).

   Ângulos iguais em T e X: o triângulo é isósceles com \(RX = RT = 1\).

3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

   Usar a fórmula da área com os dois lados de medida 1 e o ângulo de 36° entre eles.

   A armadilha: usar o ângulo de 72°, que não fica entre os dois lados conhecidos.

4. CALCULAR
   \[A = \frac12 \cdot RT \cdot RX \cdot \text{sen}\,36^\circ = \frac12 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \text{sen}\,36^\circ = \frac{\text{sen}\,36^\circ}{2}\]
5. CONFERIR

   Valor aproximado: \(\frac{0{,}588}{2} \approx 0{,}29\). O pentágono inteiro tem área perto de 1,72, e o triângulo sombreado é um pedaço pequeno do topo ✓.

   Por que as outras tentam: D (\(\text{sen}\,36^\circ\)) esquece o \(\frac12\); B usa o ângulo de 72°, que não está entre os dois lados de medida 1.

Resposta: A

1. INTERPRETAR

   O que a questão quer de verdade: o valor de \(x\), entre 0 e 10, que iguala a área do quadrado à do triângulo.

2. ESTRUTURAR
   \[x^2 = \frac{x(10 - x)}{2}, \quad 0 < x < 10\]
3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

   Resolver a equação e descartar o que não pode.

   A armadilha: aceitar \(x = 0\). A equação admite essa raiz, mas M distinto de A obriga \(x > 0\).

4. CALCULAR
   \[2x^2 = 10x - x^2 \Rightarrow 3x^2 - 10x = 0 \Rightarrow x(3x - 10) = 0\]

   \(x = 0\) (descartado) ou \(x = \frac{10}{3}\).

5. CONFERIR

   Com \(x = \frac{10}{3}\): quadrado \(\frac{100}{9}\); triângulo \(\frac12 \cdot \frac{10}{3} \cdot \frac{20}{3} = \frac{100}{9}\) ✓.

   Por que as outras tentam: A e D incluem \(x = 0\), que faria M coincidir com A. Em D, \(x = 10\) nem resolve a equação: o quadrado teria área 100 e o triângulo, área 0.

Resposta: C