Ângulos, triângulos e polígonos: complemento, paralelas, soma dos ângulos e diagonais

ANTES DE COMEÇAR

Seis contas dizem em que degrau você está.

Faça as seis no papel, em ordem. Comece a estudar pela primeira que errar: a resposta diz para onde ir. Se acertar as seis, vá direto para o desafio.

1
6º ANO Um ângulo de 120° é agudo, reto ou obtuso?
Ver resposta
Obtuso: está entre 90° e 180°. Errou? Comece na seção 1. Ângulos.
2
7º ANO Quanto medem o complemento e o suplemento de 35°?
Ver resposta
Complemento \(90^\circ-35^\circ=55^\circ\); suplemento \(180^\circ-35^\circ=145^\circ\). Errou? Comece na seção 1. Ângulos.
3
7º ANO Duas paralelas são cortadas por uma transversal. Um dos ângulos internos mede 65°. Quanto mede o colateral interno a ele?
Ver resposta
\(180^\circ-65^\circ=115^\circ\). Errou? Comece na seção 2. Paralelas.
4
7º ANO Dois ângulos de um triângulo medem 50° e 70°. Quanto mede o terceiro?
Ver resposta
\(180^\circ-50^\circ-70^\circ=60^\circ\). Errou? Comece na seção 3. Triângulos.
5
8º ANO Quanto dá a soma dos ângulos internos de um hexágono?
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\((6-2)\cdot180^\circ=720^\circ\). Errou? Comece na seção 4. Polígonos.
6
NÍVEL TIRADENTES Quantas diagonais tem um octógono?
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\(\dfrac{8\cdot5}{2}=20\). Errou? Comece na seção 4. Polígonos.

1 · ÂNGULOS

Complemento completa 90°, suplemento completa 180°.

Nome	Medida
Agudo	menor que 90°
Reto	90°
Obtuso	entre 90° e 180°
Raso	180°, meia volta

COMPLEMENTARESSomam 90°. O complemento de \(x\) é \(90^\circ-x\).
SUPLEMENTARESSomam 180°. O suplemento de \(x\) é \(180^\circ-x\).
OPOSTOS PELO VÉRTICEDuas retas que se cruzam formam dois pares de ângulos iguais.
BISSETRIZSemirreta que sai do vértice e divide o ângulo em dois ângulos iguais.

Complemento e suplemento viram equação

Exemplo. O suplemento de um ângulo é o triplo do seu complemento. Quanto mede o ângulo?

\[180-x=3(90-x)\]

\[180-x=270-3x\ \Rightarrow\ 2x=90\ \Rightarrow\ x=45^\circ\]

Confere: o complemento de 45° é 45°, o suplemento é 135°, e \(135=3\cdot45\).

Traduz palavra por palavra. "O dobro do complemento" é \(2(90-x)\), com parênteses. Sem eles, só o 90 fica multiplicado e a equação sai errada.

Colégio Tiradentes 2021 · Questão 39 Média

Quíntuplo do complemento

A diferença entre o quíntuplo do complemento de um ângulo e o dobro do suplemento do mesmo ângulo α é igual a sete vezes o valor desse ângulo. Podemos afirmar que α é:

Ver uma pista

Complemento de α é \(90° - α\); suplemento é \(180° - α\). Monte a equação.

Ver resolução

INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: achar α e classificar o número.
ESTRUTURAR
\[5(90° - α) - 2(180° - α) = 7α\]
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Aplicar a distributiva, juntar os termos com α e resolver.
A armadilha: depois de achar 9, marcar "primo". O 9 é divisível por 3, então não é primo.
CALCULAR
\[450° - 5α - 360° + 2α = 7α\]
\[90° - 3α = 7α\]
\[90° = 10α \Rightarrow α = 9°\]
9 é ímpar (e não é primo, pois \(9 = 3 \times 3\)).
CONFERIR
Complemento 81°, suplemento 171°: \(5 \times 81 - 2 \times 171 = 405 - 342 = 63\), e \(7 \times 9 = 63\). ✓

Resposta: C

Leve para outras questões: em problemas de complemento e suplemento, escreva \(90 - α\) e \(180 - α\) e traduza a frase. No fim, confira o que a questão pergunta sobre o número.

Nota editorial: na transcrição da prova usada como fonte, as linhas do enunciado estão fora de ordem ("o dobro do suplemento do Podemos afirmar que α é: mesmo ângulo α..."). O texto foi reorganizado na ordem que faz sentido.

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Colégio Tiradentes 2018 · Questão 41 Fácil–média

Três definições

Analise as afirmações a seguir, sobre ângulos:

I. Dois ângulos são complementares quando a soma dos seus ângulos é 180°.

II. A bissetriz de um ângulo é a semirreta interna ao ângulo com origem no vértice de um ângulo que o divide em dois ângulos congruentes.

III. Um ângulo é formado pela união de duas semirretas que têm mesma origem com uma das regiões no plano por elas limitada.

É incorreto o que se afirma em:

Ver uma pista

Complementares somam 90°. Os que somam 180° são os suplementares.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: achar a afirmação falsa.
ESTRUTURAR
- I: falsa. Soma 180° é de ângulos suplementares.
- II: verdadeira. É a definição de bissetriz.
- III: verdadeira. É a definição de ângulo como região do plano.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Apenas I está errada.
A armadilha: trocar complementar com suplementar.
CALCULAR
A única afirmação incorreta é a I.
CONFERIR
Exemplo: 30° e 60° são complementares (somam 90°); 30° e 150° são suplementares (somam 180°). ✓

Resposta: A

Leve para outras questões: "Complementar" combina com "canto" (90°); "suplementar" combina com "semicírculo" (180°).

Nota editorial: na transcrição da prova, o comando é "É correto o que se afirma em". O gabarito oficial (A, só a I) só fecha com "É incorreto", porque a I é a única afirmação falsa; o enunciado foi ajustado. Também foram corrigidos "semireta" e "180º graus".

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2 · PARALELAS E TRANSVERSAL

Com paralelas, só existem duas medidas: um ângulo e o que falta para 180°.

Os agudos (2, 3, 6, 7) são todos iguais, e os obtusos (1, 4, 5, 8) também. Um agudo mais um obtuso dá 180°.

Par	Exemplo	Relação
Correspondentes	1 e 5	iguais
Alternos internos	3 e 6	iguais
Alternos externos	1 e 8	iguais
Colaterais internos	3 e 5	somam 180°
Colaterais externos	1 e 7	somam 180°

EQUAÇÃOAlternos internos medem \(3x+10^\circ\) e \(2x+40^\circ\). Como são iguais, \(x=30^\circ\) e cada um mede 100°.

A tracejada por P é paralela a r e s. Ela divide o ângulo de P em dois alternos internos: um igual a \(a\), outro igual a \(b\).

A regra do bico

Quando a linha entre as paralelas faz um bico, o ângulo do bico é a soma dos dois ângulos que a linha forma com as paralelas. Com \(a=30^\circ\) e \(b=20^\circ\), o bico mede 50°.

Com vários bicos, traça uma paralela por cada um. No fim, a soma dos ângulos que apontam para um lado é igual à soma dos que apontam para o outro.

Se a figura tem um triângulo entre as transversais, ache primeiro os ângulos da base com as paralelas e feche com a soma 180° do triângulo.

Colégio Tiradentes 2020 · Questão 40 Média

Zigue-zague entre paralelas

Observando a figura abaixo e sabendo que r // s, então o valor de x é:

Duas retas verticais paralelas, r à esquerda e s à direita. Uma linha em zigue-zague sai de r, sobe até um vértice de cima, desce até um vértice de baixo e sobe até s. Em r, o ângulo entre r e a linha mede 40°; no vértice de cima está o ângulo x; no vértice de baixo, 55°; em s, o ângulo entre s e a linha mede 35°.

Ver uma pista

Trace retas paralelas a r e s passando pelos vértices de cima e de baixo. Elas dividem x e o 55° em duas partes.

Ver resolução

INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: achar x usando paralelas auxiliares.
ESTRUTURAR
- Em r: 40°.
- Vértice de cima: x.
- Vértice de baixo: 55°.
- Em s: 35°.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Pelo vértice de baixo, a paralela divide 55° em 35° (alterno com o de s) e 20°. Pelo vértice de cima, a paralela divide x em 40° (alterno com o de r) e 20°.
A armadilha: somar todos os ângulos dados (\(40 + 35 = 75\)) ou fazer \(55 + 35 - 40\) sem justificar.
CALCULAR
Vértice de baixo: \(55° = 35° + 20°\). O segmento do meio faz 20° com as verticais.
Vértice de cima: \(x = 40° + 20° = 60°\).
CONFERIR
Regra do zigue-zague: os ângulos com vértice para baixo (40° e 55°) somam o mesmo que os com vértice para cima (x e 35°): \(40 + 55 = 95\) e \(60 + 35 = 95\). ✓

A figura da questão com duas retas verticais tracejadas, paralelas a r e s, passando pelos vértices de cima e de baixo. O ângulo x fica dividido em 40° e 20°, e o ângulo de 55° fica dividido em 20° e 35°. Abaixo: x = 40° + 20° = 60°.

Resposta: D

Leve para outras questões: com paralelas e uma linha quebrada, trace uma paralela por cada vértice. Cada ângulo se divide em partes que você já conhece.

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Colégio Tiradentes 2024 · Questão 41 Média

Duas transversais que se cruzam

Considere os ângulos formados pelas retas paralelas s e t com as transversais r e q, conforme a figura.

Dados: \(\alpha = 115^\circ\); \(\beta = 112^\circ\)

Duas retas paralelas horizontais, t em cima e s embaixo, cortadas pelas transversais r e q, que se cruzam acima de t. O ângulo y fica no cruzamento de r e q, entre as duas semirretas que sobem. O ângulo α fica no encontro de r com s, acima de s e à esquerda de r. O ângulo β fica no encontro de q com t, abaixo de t, entre a parte de t à esquerda e a parte de q que desce.

É possível concluir que a medida do ângulo y é igual a:

Ver uma pista

As retas r, q e t formam um triângulo acima de t. Use α e β para descobrir dois ângulos desse triângulo; o terceiro tem a mesma medida de y.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: achar os dois ângulos da base do triângulo formado acima de t e, com a soma 180°, o ângulo do topo, que é igual a y.
ESTRUTURAR
• Em s, ao lado de α (na mesma reta s): \(180^\circ - 115^\circ = 65^\circ\).
• Esse 65° se repete em t, no mesmo lugar (ângulo correspondente), e é um ângulo do triângulo.
• Em t, ao lado de β (na mesma reta q): \(180^\circ - 112^\circ = 68^\circ\), outro ângulo do triângulo.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Somar os dois ângulos da base e subtrair de 180°. O ângulo y é oposto pelo vértice ao ângulo do topo do triângulo, então tem a mesma medida.
A armadilha: usar α e β direto no triângulo (115° + 112° já passa de 180°) ou achar que y é suplementar de algum deles.
CALCULAR
\[\text{topo} = 180^\circ - 65^\circ - 68^\circ\]
\[\text{topo} = 47^\circ\]
\[y = 47^\circ\]
CONFERIR
Triângulo: \(65^\circ + 68^\circ + 47^\circ = 180^\circ\) ✓. Atalho: \(y = \alpha + \beta - 180^\circ = 115^\circ + 112^\circ - 180^\circ = 47^\circ\).
Nota editorial: na figura da transcrição o rótulo do ângulo de cima parece um "v"; o enunciado chama esse ângulo de y.

As paralelas t e s cortadas pelas transversais r e q, que se cruzam acima de t formando um triângulo destacado em dourado. α = 115° fica acima de s, à esquerda de r; ao lado dele, o ângulo de 65°. Em t, o ângulo do triângulo junto de r mede 65° (correspondente) e o ângulo junto de q mede 68° (suplementar de β = 112°). Abaixo: y = 180° − 65° − 68° = 47°.

Resposta: A

Leve para outras questões: com paralelas e transversais, procure o triângulo escondido na figura. Os ângulos dados quase sempre viram ângulos dele por suplementares e correspondentes.

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3 · TRIÂNGULOS

Os três ângulos somam 180°, e o externo é a soma dos dois internos do outro lado.

SOMA DOS INTERNOS\(\hat A+\hat B+\hat C=180^\circ\). Com 50° e 60°, o terceiro mede 70°.
ÂNGULO EXTERNONo mesmo triângulo, o externo junto do ângulo de 70° mede \(180^\circ-70^\circ=110^\circ\), que é \(50^\circ+60^\circ\).
SOMA DOS EXTERNOSUm externo em cada vértice: a soma é 360° em qualquer triângulo.
ISÓSCELESOs ângulos da base são iguais. Com 40° no vértice, cada ângulo da base mede \((180^\circ-40^\circ)\div2=70^\circ\).

Pelos ângulos	Pelos lados
Acutângulo: três agudos	Equilátero: três lados iguais
Retângulo: um reto	Isósceles: dois lados iguais
Obtusângulo: um obtuso	Escaleno: três lados diferentes

Condição de existência. Cada lado precisa ser menor que a soma dos outros dois. Com 3, 4 e 8 não dá triângulo, porque \(3+4=7\) é menor que 8. Mais em Triângulos.

Um triângulo só pode ter um ângulo reto ou um obtuso: dois deles já passariam de 180°.

Colégio Tiradentes 2024 · Questão 31 Fácil–média

Dois triângulos unidos pelo vértice

Dadas as medidas dos ângulos \(\hat{A} = 90^\circ\), \(\hat{B} = 45^\circ\) e \(\hat{D} = 40^\circ\), podemos afirmar, corretamente, que o ângulo \(\hat{C}\) mede:

Dois triângulos, ABE e CDE, unidos pelo vértice E. Os segmentos AD e BC se cruzam em E. O triângulo ABE fica à esquerda, com A em cima e B embaixo; o triângulo CDE fica à direita, com C em cima e D embaixo.

Ver uma pista

Os dois triângulos se encontram em E, onde dois segmentos se cruzam. Como são os ângulos que ficam um de frente para o outro nesse cruzamento?

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: levar a informação do triângulo da esquerda para o da direita, passando pelo ângulo em E.
ESTRUTURAR
• Triângulo ABE: conhecemos \(\hat{A} = 90^\circ\) e \(\hat{B} = 45^\circ\).
• Triângulo CDE: conhecemos \(\hat{D} = 40^\circ\) e queremos \(\hat{C}\).
• Os ângulos dos dois triângulos em E são opostos pelo vértice.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular o ângulo em E no triângulo ABE, usar o mesmo valor no triângulo CDE e fechar a soma 180°.
A armadilha: somar só os ângulos dados (90° + 45° + 40°) e subtrair de 180°, o que dá 5°, ou supor que \(\hat{C}\) é igual a \(\hat{A}\) e marcar 90°.
CALCULAR
No triângulo ABE:
\[\hat{E} = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\]
O ângulo do triângulo CDE em E também mede 45°. No triângulo CDE:
\[\hat{C} = 180^\circ - 45^\circ - 40^\circ = 95^\circ\]
CONFERIR
Triângulo CDE: \(95^\circ + 45^\circ + 40^\circ = 180^\circ\) ✓. Repare que, como os dois triângulos têm o mesmo ângulo em E, vale \(\hat{A} + \hat{B} = \hat{C} + \hat{D}\): \(90 + 45 = 95 + 40 = 135\) ✓.

Os triângulos ABE, em azul, e CDE, em dourado, unidos em E. Em ABE: ângulo reto em A, 45° em B e 45° em E. Em CDE: 45° em E, 40° em D e 95° em C. Abaixo: 180° − 90° − 45° = 45°; o ângulo oposto pelo vértice em E também é 45°; 180° − 45° − 40° = 95°.

Resposta: E

Leve para outras questões: quando dois triângulos se tocam num cruzamento de retas (a figura de "gravata borboleta"), os ângulos no cruzamento são iguais. Por isso a soma dos outros dois ângulos é a mesma nos dois triângulos.

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4 · POLÍGONOS

Corta o polígono em triângulos e a soma dos ângulos aparece.

Do mesmo vértice saem \(n-3\) diagonais, que formam \(n-2\) triângulos.

\[S_i=(n-2)\cdot180^\circ\qquad S_e=360^\circ\]

REGULARLados e ângulos iguais. Cada interno é \(S_i\div n\) e cada externo é \(360^\circ\div n\). No hexágono regular: 120° e 60°.
INTERNO MAIS EXTERNOEm cada vértice, o interno e o externo somam 180°.
PARALELOGRAMOÂngulos opostos iguais e vizinhos somando 180°. Com um ângulo de 65°, os outros medem 115°, 65° e 115°.

Número de diagonais

\[d=\frac{n(n-3)}{2}\]

De cada um dos \(n\) vértices saem \(n-3\) diagonais: não se liga o vértice a ele mesmo nem aos dois vizinhos. Cada diagonal foi contada duas vezes, uma por ponta, e por isso se divide por 2. No decágono: \(\dfrac{10\cdot7}{2}=35\).

O caminho de volta cai também. Se a prova dá o ângulo externo de um polígono regular, \(n=360^\circ\div\text{externo}\). Externo de 24° dá 15 lados.

Sem fórmula, também dá. Interno do octógono regular: \(1080^\circ\div8=135^\circ\). Externo: \(180^\circ-135^\circ=45^\circ\), que é \(360^\circ\div8\).

Colégio Tiradentes 2015 · Questão 49 Média

Ângulos do paralelogramo

Se no paralelogramo da figura abaixo os valores a e b são dados em graus, então estes valores são respectivamente iguais a:

Paralelogramo inclinado com quatro ângulos marcados: a no vértice da esquerda, 9b + 16° no vértice de cima, 3b + 20° no vértice da direita e a + 68° no vértice de baixo.

Ver uma pista

No paralelogramo, ângulos opostos são iguais.

Ver resolução

INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: montar as equações com os ângulos opostos.
ESTRUTURAR
• Esquerda e direita: \(a = 3b + 20\).
• Cima e baixo: \(9b + 16 = a + 68\).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Substituir \(a\) na segunda equação.
A armadilha: igualar ângulos vizinhos, que na verdade somam 180°.
CALCULAR
\[9b + 16 = 3b + 20 + 68\]
\[6b = 72 \;\Rightarrow\; b = 12 \qquad a = 3 \cdot 12 + 20 = 56\]
CONFERIR
Ângulos: 56°, 124°, 56° e 124°; vizinhos somam \(56 + 124 = 180\). ✓

O paralelogramo com os ângulos já calculados: 56° nos vértices da esquerda e da direita, 124° nos vértices de cima e de baixo. Abaixo: a = 3b + 20 e 9b + 16 = a + 68; 9b + 16 = 3b + 88, então b = 12 e a = 56.

Resposta: D

Leve para outras questões: com duas incógnitas no paralelogramo, use um par de ângulos opostos para cada equação.

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Colégio Tiradentes 2018 · Questão 34 Fácil–média

Quarenta lados

Seja um polígono convexo regular que possui 40 lados. O número de diagonais desse polígono é de exatamente:

Ver uma pista

De cada vértice saem \(n - 3\) diagonais, e cada diagonal é contada duas vezes.

Ver resolução

INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: aplicar a fórmula das diagonais com \(n = 40\).
ESTRUTURAR
\[d = \frac{n(n - 3)}{2}\]
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Substituir \(n = 40\).
A armadilha: esquecer de dividir por 2 e marcar um valor maior, ou usar \(n - 2\).
CALCULAR
\[d = \frac{40 \cdot 37}{2} = 20 \cdot 37 = 740\]
CONFERIR
Teste com o quadrado: \(\tfrac{4 \cdot 1}{2} = 2\) diagonais. ✓

Resposta: C

Leve para outras questões: confira a fórmula com um polígono pequeno (quadrado tem 2 diagonais, pentágono tem 5).

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Colégio Tiradentes 2016 · Questão 48 Fácil–média

Diagonais de três polígonos

Sobre o número de diagonais de um polígono, podemos afirmar que:

I. Um heptágono regular possui 14 diagonais.

II. Um pentágono possui o número de diagonais igual ao número de lados.

III. Um hexágono possui 8 diagonais.

Ver uma pista

Número de diagonais: \(d = \tfrac{n(n - 3)}{2}\).

Ver resolução

INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: calcular as diagonais do heptágono, do pentágono e do hexágono.
ESTRUTURAR
• Heptágono (\(n = 7\)): \(\tfrac{7 \cdot 4}{2} = 14\). I é verdadeira.
• Pentágono (\(n = 5\)): \(\tfrac{5 \cdot 2}{2} = 5\), igual ao número de lados. II é verdadeira.
• Hexágono (\(n = 6\)): \(\tfrac{6 \cdot 3}{2} = 9\). III é falsa.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Verdadeiras: I e II.
A armadilha: na III, esquecer de dividir por 2 ou contar errado e aceitar 8.
CALCULAR
Somente I e II são verdadeiras.
CONFERIR
No hexágono, de cada vértice saem 3 diagonais: \(6 \cdot 3 = 18\), e cada uma foi contada duas vezes, então são 9. ✓

Resposta: B

Leve para outras questões: o pentágono é o único polígono com o mesmo número de diagonais e de lados.

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5 · DO 6º AO 9º ANO

Cada ano põe uma regra. O Tiradentes cobra todas juntas.

Se você está no Fundamental, suba até o seu ano. Se vai fazer o Tiradentes, confira se todos os degraus estão firmes. Os códigos são da BNCC; o último degrau é o que a prova cobra além dela.

6º ANO · EF06MA18 · EF06MA19 · EF06MA25Ângulo como abertura, medida com transferidor, classificação de triângulos e de polígonos por lados e ângulos.
7º ANO · EF07MA23 · EF07MA24 · EF07MA27Ângulos de paralelas cortadas por transversal, soma 180° e condição de existência do triângulo, ângulos internos de polígonos regulares sem fórmula.
8º ANO · EF08MA14 · EF08MA15Propriedades dos quadriláteros, como os ângulos opostos do paralelogramo, e construção de bissetriz e de ângulos de 90°, 60°, 45° e 30°.
9º ANO · EF09MA10Demonstrar as relações entre os ângulos de paralelas cortadas por transversal, como a regra do bico.
NÍVEL TIRADENTESComplemento e suplemento em equação, número de diagonais, figuras com várias paralelas e transversais e afirmações de verdadeiro ou falso sobre definições.

6 · ARMADILHAS DE PROVA

Os seis erros que mais derrubam questão de ângulo.

Trocar complementar com suplementar. Complementar é 90°; suplementar é 180°. Veja na questão das três definições.
Achar que colaterais são iguais. Eles somam 180°. Veja na questão das relações entre ângulos.
Resolver o zigue-zague sem traçar paralelas pelos vértices. Veja na questão do zigue-zague.
Parar no ângulo do triângulo quando a pergunta é o oposto pelo vértice a ele. Veja na questão das transversais.
Esquecer de dividir por 2 no número de diagonais. Veja na questão dos quarenta lados.
Usar 180° como soma dos ângulos externos. A soma é 360° em qualquer polígono convexo. Veja na questão das propriedades do triângulo.

7 · VERDADEIRO OU FALSO

Seis das treze questões pedem para julgar afirmações.

Nessas questões, cada afirmação testa uma regra desta página. Julga uma por uma e, na dúvida, testa com um caso: um triângulo de 60°, 60° e 60°, um quadrado ou um hexágono regular.

Colégio Tiradentes 2022 · Questão 40 Fácil–média

Cinco afirmações sobre triângulos

Analise as afirmativas a seguir e marque V para verdadeiro e F para falso.

• ( ) A medida do apótema do triângulo equilátero é \(\tfrac{1}{3}\) da medida da altura desse mesmo triângulo.

• ( ) A soma dos ângulos externos de um triângulo qualquer é 240°.

• ( ) A soma das medidas de dois lados de um triângulo é sempre maior que a medida do terceiro lado.

• ( ) Um triângulo isósceles é sempre retângulo.

• ( ) Um triângulo obtusângulo é aquele que tem dois ângulos maiores que 90°.

A sequência correta de preenchimento dos parênteses, de cima para baixo, é:

Ver uma pista

Para cada item falso, procure um contraexemplo simples. Um triângulo pode ter dois ângulos obtusos?

Ver resolução

INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: julgar cinco propriedades de triângulos.
ESTRUTURAR
Item a item:
- apótema do equilátero;
- soma dos ângulos externos;
- desigualdade triangular;
- isósceles e retângulo;
- definição de obtusângulo.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Usar as propriedades conhecidas e contraexemplos.
A armadilha: no quarto item, lembrar de um triângulo isósceles retângulo e generalizar. O equilátero também é isósceles e não tem ângulo reto.
CALCULAR
• 1º: no equilátero, o apótema (distância do centro ao lado) é \(\tfrac{1}{3}\) da altura. V
• 2º: a soma dos ângulos externos é 360°, não 240°. F
• 3º: é a desigualdade triangular. V
• 4º: o triângulo com ângulos 70°, 70° e 40° é isósceles e não é retângulo. F
• 5º: dois ângulos maiores que 90° já somariam mais de 180°. Obtusângulo tem um único ângulo obtuso. F
Sequência: V – F – V – F – F.
CONFERIR
Só a alternativa C tem V – F – V – F – F. ✓

Resposta: C

Leve para outras questões: em V ou F, um único contraexemplo derruba uma afirmação com "sempre". E a soma dos ângulos internos do triângulo (180°) resolve muitos itens.

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Colégio Tiradentes 2022 · Questão 41 Média

Polígonos regulares

Analise as afirmativas a seguir:

I. A soma dos ângulos externos de um polígono regular é sempre 360°.

II. Todo polígono regular de n lados é composto por n − 2 triângulos.

III. Cada ângulo interno de um heptágono regular mede 120°.

IV. Qualquer ângulo interno de um pentágono regular é 50% maior que qualquer ângulo externo desse mesmo polígono.

Está correto o que se afirma em:

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Calcule o ângulo interno do heptágono regular: \(S_i = (n - 2) \cdot 180°\), dividido por n.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: julgar quatro afirmações sobre ângulos de polígonos regulares.
ESTRUTURAR
- I: soma dos externos.
- II: diagonais saindo de um vértice dividem o polígono em n − 2 triângulos.
- III: ângulo interno do heptágono (7 lados).
- IV: comparar interno e externo do pentágono (5 lados).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular os ângulos de III e IV e conferir I e II com as propriedades.
A armadilha: em IV, achar que "50% maior" é a diferença em graus (108 − 72 = 36). É preciso comparar 108 com 72 em porcentagem.
CALCULAR
• I: verdadeira, a soma dos externos é sempre 360°.
• II: verdadeira, as diagonais de um vértice formam n − 2 triângulos.
• III: \(\dfrac{(7 - 2) \cdot 180°}{7} = \dfrac{900°}{7} \approx 128{,}6°\). Falsa.
• IV: interno do pentágono \(\dfrac{540°}{5} = 108°\); externo \(180° - 108° = 72°\); \(\dfrac{108}{72} = 1{,}5\), ou seja, 50% maior. Verdadeira.
CONFERIR
50% de 72° é 36°, e \(72° + 36° = 108°\). ✓ Estão corretas I, II e IV.

Resposta: E

Leve para outras questões: em polígono regular, ache o ângulo externo primeiro (360° ÷ n) e o interno é 180° menos ele. É bem mais rápido que a fórmula da soma.

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Colégio Tiradentes 2017 · Questão 39 Fácil–média

Relações entre ângulos

Considere as afirmações a seguir sobre relações entre ângulos:

I. Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um são as semirretas opostas dos lados do outro.

II. Duas retas paralelas formam com uma reta transversal a elas ângulos colaterais internos e ângulos colaterais externos complementares.

III. Duas retas paralelas não formam com uma reta transversal a elas ângulos alternos internos e ângulos alternos externos congruentes.

IV. Duas retas paralelas formam com uma reta transversal a elas ângulos correspondentes congruentes.

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Paralelas cortadas por transversal: correspondentes e alternos são iguais; colaterais somam 180°.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: julgar cada afirmação com as regras das paralelas.
ESTRUTURAR
- I: verdadeira. É a definição de ângulos opostos pelo vértice.
- II: falsa. Colaterais são suplementares (somam 180°), não complementares.
- III: falsa. Os alternos internos e os alternos externos são congruentes; o "não" deixa a frase errada.
- IV: verdadeira. Correspondentes são congruentes.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Montar a sequência na ordem I, II, III, IV.
A armadilha: ler rápido a III e não ver o "não formam".
CALCULAR
A sequência é V – F – F – V.
CONFERIR
Exemplo: com um ângulo de 70°, o colateral mede 110° (\(70^\circ + 110^\circ = 180^\circ\)), e o alterno e o correspondente medem 70°. ✓

Resposta: C

Leve para outras questões: em verdadeiro ou falso, procure palavras como "não", "nunca" e "sempre". Uma palavra só muda a frase toda.

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8 · DESAFIO

Tiradentes 2016: duas paralelas, um sistema e um triângulo.

É a questão mais difícil do assunto no Tiradentes. Os colaterais dão duas equações, o sistema dá \(x\) e \(y\), e o triângulo fecha o \(z\). Clique numa alternativa para conferir. A resolução segue os 5 passos: interpretar, estruturar, escolher a estratégia, calcular e conferir.

Colégio Tiradentes 2016 · Questão 41 Média–difícil

Paralelas, sistema e triângulo

Na figura abaixo, as retas \(\overleftrightarrow{BC}\) e \(\overleftrightarrow{DE}\) são paralelas. O valor, em graus, de \(x + y + z\) é:

Duas retas horizontais paralelas: a de cima passa por B e C, a de baixo por D e E. Uma reta passa por D, B e A, subindo para a direita; outra passa por A, C e E, descendo para a direita. Ângulos marcados: z em A, entre as duas retas inclinadas; 4x em B, abaixo da reta BC e à direita da reta BD; 79 + x em C, abaixo da reta BC e à esquerda da reta CE; y em D, entre DE e DA; 2y em E, entre ED e EA.

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Os ângulos \(4x\) e \(y\) são colaterais internos. Os ângulos \(79 + x\) e \(2y\) também.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: montar duas equações com as paralelas, achar \(x\) e \(y\), e depois \(z\) no triângulo ADE.
ESTRUTURAR
Com a transversal DA: \(4x + y = 180\).
Com a transversal AE: \(79 + x + 2y = 180\), ou seja, \(x + 2y = 101\).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Resolver o sistema e usar o triângulo ADE para \(z\).
A armadilha: somar \(x + y\) e esquecer de calcular \(z\).
CALCULAR
Da primeira: \(y = 180 - 4x\). Na segunda:
\[x + 360 - 8x = 101 \;\Rightarrow\; 7x = 259 \;\Rightarrow\; x = 37\]
\[y = 180 - 148 = 32\]
No triângulo ADE, os ângulos são \(y = 32^\circ\), \(2y = 64^\circ\) e \(z\):
\[z = 180 - 32 - 64 = 84\]
\[x + y + z = 37 + 32 + 84 = 153^\circ\]
CONFERIR
\(4 \cdot 37 + 32 = 180\) e \(79 + 37 + 64 = 180\). ✓

A mesma figura da questão com o triângulo ADE sombreado e os ângulos já calculados: 32° em D, 148° em B, 116° em C, 64° em E e 84° em A. Abaixo: colaterais internos, 4x + y = 180° e 79 + x + 2y = 180°; x = 37 e y = 32; z = 180° − 32° − 64° = 84°; x + y + z = 153°.

Resposta: C

Leve para outras questões: quando há expressões nos ângulos, procure pares de ângulos que somam 180° ou são iguais. Cada par vira uma equação.

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9 · TREINO RÁPIDO

Dez contas para fixar, com resposta.

Faz no papel antes de abrir a resposta. Se errar mais de duas, volta à seção correspondente.

1
Quanto mede o complemento de 28°?
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\(90^\circ-28^\circ=62^\circ\).
2
Um ângulo e o seu suplemento estão na razão 2 para 3. Quanto mede o ângulo?
Ver resposta
\(2k+3k=180^\circ\), \(k=36^\circ\). O ângulo mede 72°.
3
Dois ângulos opostos pelo vértice medem \(3x-20^\circ\) e \(x+40^\circ\). Quanto mede cada um?
Ver resposta
\(3x-20=x+40\), \(x=30\). Cada um mede 70°.
4
Dois ângulos correspondentes medem \(4x+10^\circ\) e \(6x-30^\circ\). Ache \(x\).
Ver resposta
\(4x+10=6x-30\), \(x=20\). Cada um mede 90°.
5
Dois colaterais internos medem \(2x\) e \(3x+30^\circ\). Quanto mede cada um?
Ver resposta
\(5x+30=180\), \(x=30\). Medem 60° e 120°.
6
Os ângulos de um triângulo medem \(x\), \(2x\) e \(3x\). Quanto mede cada um?
Ver resposta
\(6x=180^\circ\), \(x=30^\circ\): 30°, 60° e 90°.
7
Um ângulo externo de um triângulo mede 130°, e um dos internos não adjacentes mede 70°. Quanto mede o outro?
Ver resposta
\(130^\circ-70^\circ=60^\circ\).
8
Quanto mede cada ângulo interno de um decágono regular?
Ver resposta
\(S_i=8\cdot180^\circ=1440^\circ\), e \(1440^\circ\div10=144^\circ\).
9
O ângulo externo de um polígono regular mede 24°. Quantos lados ele tem?
Ver resposta
\(360\div24=15\) lados.
10
Um polígono convexo tem 54 diagonais. Quantos lados ele tem?
Ver resposta
\(\dfrac{n(n-3)}{2}=54\) dá \(n^2-3n-108=0\), \(n=12\).

RESUMO PARA REVISAR

Ângulos, triângulos e polígonos em seis linhas.

Complemento: \(90^\circ-x\). Suplemento: \(180^\circ-x\). Opostos pelo vértice são iguais.
Paralelas: correspondentes e alternos são iguais; colaterais somam 180°.
Bico entre paralelas: o ângulo do bico é a soma dos dois ângulos com as paralelas.
Triângulo: internos somam 180°; o externo é a soma dos dois internos não adjacentes; externos somam 360°.
Polígono: \(S_i=(n-2)\cdot180^\circ\), externos somam 360°, regular tem externo \(360^\circ\div n\).
Diagonais: \(d=\dfrac{n(n-3)}{2}\).

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Quase toda questão de ângulo se resolve com dois números: 90° e 180°.

Seis contas dizem em que degrau você está.

Complemento completa 90°, suplemento completa 180°.

Complemento e suplemento viram equação

Com paralelas, só existem duas medidas: um ângulo e o que falta para 180°.

A regra do bico

Os três ângulos somam 180°, e o externo é a soma dos dois internos do outro lado.

Corta o polígono em triângulos e a soma dos ângulos aparece.

Número de diagonais

Cada ano põe uma regra. O Tiradentes cobra todas juntas.

Os seis erros que mais derrubam questão de ângulo.

Seis das treze questões pedem para julgar afirmações.

Tiradentes 2016: duas paralelas, um sistema e um triângulo.

Dez contas para fixar, com resposta.

Ângulos, triângulos e polígonos em seis linhas.