Triângulos: classificação, condição de existência, pontos notáveis e equilátero

ANTES DE COMEÇAR

Seis perguntas dizem qual seção você precisa.

Responda no papel, em ordem. Se errar, a resposta diz para onde ir. Se acertar as seis, vá direto para o desafio.

1
Um triângulo tem ângulos de 30°, 30° e 120°. Como ele se classifica pelos ângulos e pelos lados?
Ver resposta
Obtusângulo (tem um ângulo de 120°) e isósceles (dois ângulos iguais, então dois lados iguais). Errou? Comece na seção 1. Classificar.
2
Dá para montar um triângulo com lados 2, 5 e 8?
Ver resposta
Não: \(2+5=7\) e 7 é menor que 8. Errou? Veja a seção 2. Condição de existência.
3
Dois lados de um triângulo medem 4 e 9. Quantos valores inteiros pode ter o terceiro lado?
Ver resposta
\(9-4<x<9+4\), ou seja, \(5<x<13\): de 6 a 12, são 7 valores. Errou? Veja a seção 2.
4
Uma mediana de um triângulo mede 12 cm. Em que partes o baricentro divide essa mediana?
Ver resposta
8 cm do vértice até o baricentro e 4 cm do baricentro até o lado: a razão é 2 para 1. Errou? Veja a seção 3. Cevianas e pontos notáveis.
5
Qual é a altura de um triângulo equilátero de lado 6?
Ver resposta
\(h=\dfrac{6\sqrt3}{2}=3\sqrt3\approx5{,}2\). Errou? Veja a seção 4. Triângulo equilátero.
6
No triângulo equilátero de lado 6, qual é o raio da circunferência que passa pelos três vértices?
Ver resposta
\(R=\dfrac23h=\dfrac23\cdot3\sqrt3=2\sqrt3\approx3{,}5\). Errou? Veja a seção 4.

1 · CLASSIFICAR

Todo triângulo tem dois nomes: um pelos ângulos e outro pelos lados.

Pelos ângulos	Pelos lados
Acutângulo: três ângulos agudos	Equilátero: três lados iguais
Retângulo: um ângulo reto	Isósceles: pelo menos dois lados iguais
Obtusângulo: um ângulo obtuso	Escaleno: três lados diferentes

A resposta certa costuma juntar os dois nomes, como "obtusângulo isósceles". A banca coloca nas alternativas o par com um nome trocado.

Lado maior fica na frente do ângulo maior. Lados iguais ficam na frente de ângulos iguais. Por isso o isósceles tem os dois ângulos da base iguais, e o equilátero tem os três ângulos de 60°.

PELOS LADOS AO QUADRADOCom lados \(a\le b\le c\): se \(c^2=a^2+b^2\), é retângulo; se \(c^2>a^2+b^2\), é obtusângulo; se \(c^2<a^2+b^2\), é acutângulo. Com 4, 5 e 7: \(49>16+25=41\), obtusângulo.
SÓ UM ÂNGULO GRANDEUm triângulo tem no máximo um ângulo reto ou obtuso. Dois deles já passariam de 180°.
ISÓSCELES NÃO É SÓ RETÂNGULOÂngulos de 70°, 70° e 40° formam um isósceles acutângulo. O equilátero também é isósceles.

A soma dos ângulos internos (180°) e o ângulo externo estão em Ângulos, triângulos e polígonos.

ENEM 2018 · Questão 155 Fácil

O triângulo do remador

O remo de assento deslizante é um esporte que faz uso de um barco e dois remos do mesmo tamanho.

A figura mostra uma das posições de uma técnica chamada afastamento.

Foto de um barco de remo visto de cima: os dois remos se encontram no ponto A, junto ao remador, e suas pontas são os pontos B e C.

Disponível em: www.remobrasil.com. Acesso em: 6 dez. 2017 (adaptado).

Nessa posição, os dois remos se encontram no ponto A e suas outras extremidades estão indicadas pelos pontos B e C. Esses três pontos formam um triângulo ABC cujo ângulo \(B\hat{A}C\) tem medida de 170°.

O tipo de triângulo com vértices nos pontos A, B e C, no momento em que o remador está nessa posição, é

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Os remos têm o mesmo tamanho: AB = AC. E um ângulo de 170° é maior que 90°.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: classificar ABC pelos ângulos (170°) e pelos lados (dois remos iguais).
ESTRUTURAR
- Ângulo em A: 170°.
- AB e AC: os dois remos, do mesmo tamanho.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Classificar pelos ângulos e pelos lados.
A armadilha: marcar obtusângulo escaleno (alternativa D), esquecendo que os remos são do mesmo tamanho. AB = AC faz o triângulo isósceles.
CALCULAR
170° > 90°: obtusângulo. AB = AC: isósceles.
CONFERIR
Os outros dois ângulos são iguais, porque o triângulo é isósceles: \((180° - 170°) \div 2 = 5°\) cada.

Resposta: E

Leve para outras questões: procure no texto informações sobre os lados ("do mesmo tamanho") e sobre os ângulos. A classificação usa as duas.

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Colégio Tiradentes 2022 · Questão 40 Fácil–média

Quatro afirmações sobre triângulos

Analise as afirmativas a seguir e marque V para verdadeiro e F para falso.

• ( ) A medida do apótema do triângulo equilátero é \(\tfrac{1}{3}\) da medida da altura desse mesmo triângulo.

• ( ) A soma dos ângulos externos de um triângulo qualquer é 240°.

• ( ) A soma das medidas de dois lados de um triângulo é sempre maior que a medida do terceiro lado.

• ( ) Um triângulo isósceles é sempre retângulo.

• ( ) Um triângulo obtusângulo é aquele que tem dois ângulos maiores que 90°.

A sequência correta de preenchimento dos parênteses, de cima para baixo, é:

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Para cada item falso, procure um contraexemplo simples. Um triângulo pode ter dois ângulos obtusos?

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: julgar cinco propriedades de triângulos.
ESTRUTURAR
Item a item:
- apótema do equilátero;
- soma dos ângulos externos;
- desigualdade triangular;
- isósceles e retângulo;
- definição de obtusângulo.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Usar as propriedades conhecidas e contraexemplos.
A armadilha: no quarto item, lembrar de um triângulo isósceles retângulo e generalizar. O equilátero também é isósceles e não tem ângulo reto.
CALCULAR
• 1º: no equilátero, o apótema (distância do centro ao lado) é \(\tfrac{1}{3}\) da altura. V
• 2º: a soma dos ângulos externos é 360°, não 240°. F
• 3º: é a desigualdade triangular. V
• 4º: o triângulo com ângulos 70°, 70° e 40° é isósceles e não é retângulo. F
• 5º: dois ângulos maiores que 90° já somariam mais de 180°. Obtusângulo tem um único ângulo obtuso. F
Sequência: V – F – V – F – F.
CONFERIR
Só a alternativa C tem V – F – V – F – F. ✓

Resposta: C

Leve para outras questões: em V ou F, um único contraexemplo derruba uma afirmação com "sempre". E a soma dos ângulos internos do triângulo (180°) resolve muitos itens.

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2 · CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA

Cada lado precisa ser menor que a soma dos outros dois.

É a desigualdade triangular. Na prática, basta testar o maior lado: se ele for menor que a soma dos outros dois, os outros testes passam sozinhos.

\[c<a+b,\quad\text{com } c \text{ o maior lado}\]

Quando a pergunta é "quanto pode medir o terceiro lado", ele fica entre a diferença e a soma dos outros dois:

\[|a-b|<x<a+b\]

Com lados 5 e 8, o terceiro fica entre 3 e 13, sem poder ser 3 nem 13. Igual à soma não serve: as pontas se encostam numa linha reta e o triângulo fica achatado.

\(3+4=7<8\): os dois lados menores não alcançam um ao outro.

CONTAR TRIÂNGULOSLados inteiros, perímetro 12 e um lado igual a 5: os outros dois somam 7. Os pares (1, 6), (2, 5) e (3, 4) parecem servir, mas (1, 6) falha, porque \(6<1+5\) é falso. Sobram 2 triângulos. Conte os pares e só depois teste cada um.

ENEM 2014 · Questão 147 Média

Triângulos de palitos

Uma criança deseja criar triângulos utilizando palitos de fósforo de mesmo comprimento. Cada triângulo será construído com exatamente 17 palitos e pelo menos um dos lados do triângulo deve ter o comprimento de exatamente 6 palitos. A figura ilustra um triângulo construído com essas características.

Triângulo formado por palitos de fósforo, com 6 palitos na base.

A quantidade máxima de triângulos não congruentes dois a dois que podem ser construídos é

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Um lado tem 6, então os outros dois somam 11. Liste os pares possíveis e teste a desigualdade triangular: cada lado precisa ser menor que a soma dos outros dois.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: quantos trios de lados (6, a, b), com a + b = 11, formam triângulo, sem contar repetidos.
ESTRUTURAR
- Perímetro: 17 palitos.
- Um lado com 6 palitos: os outros somam 11.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Listar os pares com \(a \le b\) e aplicar a desigualdade triangular.
A armadilha: contar todos os pares que somam 11, que são 5 (alternativa B), sem conferir se formam triângulo.
CALCULAR
Pares (a, b) com a + b = 11 e a ≤ b:
- (1, 10): 10 < 7? não.
- (2, 9): 9 < 8? não.
- (3, 8): 8 < 9 ✓.
- (4, 7): 7 < 10 ✓.
- (5, 6): 6 < 11 ✓.
Triângulos: (6, 3, 8), (6, 4, 7) e (6, 5, 6). São 3.
CONFERIR
Nos três, o maior lado é menor que a soma dos outros dois ✓.

Resposta: A

Leve para outras questões: para saber se três medidas formam triângulo, basta testar o maior lado contra a soma dos outros dois.

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UFRGS 2012 · Questão 43 Fácil

Qual trio forma triângulo

Assinale a alternativa que apresenta corretamente os valores, na mesma unidade de medida, que podem representar as medidas dos lados de um triângulo.

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Basta testar se o maior lado é menor que a soma dos outros dois.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: aplicar a desigualdade triangular a cada trio.
ESTRUTURAR
Comparar o maior lado com a soma dos dois menores.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Testar as cinco alternativas.
A armadilha: testar um par qualquer em vez do maior lado.
CALCULAR
• A: \(4 > 1 + 2 = 3\) ✗
• B: \(6 > 3 + 2 = 5\) ✗
• C: \(8 > 4 + 3 = 7\) ✗
• D: \(9 > 3 + 4 = 7\) ✗
• E: \(6 < 4 + 5 = 9\) ✓
CONFERIR
Em E também \(5 < 6 + 4\) e \(4 < 6 + 5\) ✓.
Por que as outras tentam: em A, B, C e D os dois lados menores são curtos demais para alcançar as pontas do maior.

Resposta: E

Leve para outras questões: para três medidas a ≤ b ≤ c, o triângulo existe exatamente quando c < a + b.

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3 · CEVIANAS E PONTOS NOTÁVEIS

Quatro tipos de reta, quatro centros. Cada centro responde a uma pergunta diferente.

As três…	Se encontram no	Para que serve
medianas (vértice ao ponto médio do lado oposto)	baricentro	centro de massa; divide cada mediana na razão 2 para 1
bissetrizes (dividem o ângulo ao meio)	incentro	mesma distância dos três lados; centro da circunferência inscrita
mediatrizes (perpendiculares no meio de cada lado)	circuncentro	mesma distância dos três vértices; centro da circunferência circunscrita
alturas	ortocentro	raramente cobrado sozinho

Lê a palavra-chave do enunciado. "Mesma distância das três cidades" é circuncentro. "Mesma distância das três estradas" (os lados) é incentro. "Ponto de equilíbrio" é baricentro.

As medianas se cruzam no baricentro G, a 2/3 de cada uma, contando a partir do vértice.

BARICENTRO NO PLANO CARTESIANOÉ a média dos vértices: com \(A(0,0)\), \(B(6,0)\) e \(C(3,9)\), \(G=\left(\frac{0+6+3}{3},\frac{0+0+9}{3}\right)=(3,3)\).
TRIÂNGULO RETÂNGULOO circuncentro é o ponto médio da hipotenusa. Por isso a mediana que vai do ângulo reto até a hipotenusa mede metade dela.
BASE MÉDIAO segmento que liga os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado e mede metade dele.

ENEM 2024 · Questão 164 Média

O hospital no meio dos três postos

A prefeitura de uma cidade planeja construir três postos de saúde. Esses postos devem ser construídos em locais equidistantes entre si e de forma que as distâncias desses três postos ao hospital dessa cidade sejam iguais. Foram conseguidos três locais para a construção dos postos de saúde que apresentam as características desejadas, e que distam 10 km entre si, conforme o esquema, no qual o ponto H representa o local onde está construído o hospital; os pontos P₁, P₂ e P₃, os postos de saúde; e esses quatro pontos estão em um mesmo plano.

Esquema com três pontos laranja, P1 em cima, P3 embaixo à esquerda e P2 embaixo à direita, formando um triângulo equilátero de lado 10 km. O ponto azul H fica no centro e é ligado aos três postos por segmentos marcados como iguais.

A distância, em quilômetro, entre o hospital e cada um dos postos de saúde, é um valor entre

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H está no centro do triângulo equilátero. No triângulo equilátero, o centro fica a dois terços da altura, contando a partir do vértice.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a distância do centro de um triângulo equilátero de lado 10 até um vértice.
ESTRUTURAR
- Triângulo equilátero de lado 10 km.
- H está à mesma distância dos três vértices, então H é o centro do triângulo.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular a altura do triângulo e pegar dois terços dela.
A armadilha: parar na altura inteira, cerca de 8,7 km (alternativa E), ou usar só um terço dela, cerca de 2,9 km (alternativa A). A distância de H ao vértice é dois terços da altura.
CALCULAR
\[h = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 5 \cdot 1{,}73 = 8{,}65 \text{ km}\]
\[d = \frac{2}{3} \cdot h = \frac{10\sqrt{3}}{3} \approx 5{,}77 \text{ km}\]
CONFERIR
Outro caminho: o triângulo H, ponto médio de P₂P₃ e P₂ tem ângulo de 30° em P₂ e cateto 5. Então \(d = \dfrac{5}{\cos 30^\circ} = \dfrac{10}{\sqrt{3}} \approx 5{,}77\) ✓, que está entre 5 e 6.

Triângulo equilátero P1, P2, P3 de lado 10 km com o hospital H no centro. A altura que sai de P1 mede 5 vezes raiz de 3, cerca de 8,66 km; H a divide em dois terços acima e um terço abaixo. Em destaque, o triângulo retângulo formado por H, o ponto médio da base e P2, com cateto de 5 km, ângulo de 30° em P2 e hipotenusa d, cerca de 5,77 km.

Resposta: C

Leve para outras questões: no triângulo equilátero, o centro divide a altura em 2 partes para 1. Do vértice ao centro são \(\frac{2}{3}\) da altura; do centro ao lado, \(\frac{1}{3}\).

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ENEM 2018 · Questão 173 Difícil

O ponto médio da viga do guindaste

Os guindastes são fundamentais em canteiros de obras, no manejo de materiais pesados como vigas de aço. A figura ilustra uma sequência de estágios em que um guindaste iça uma viga de aço que se encontra inicialmente no solo.

Três estágios do içamento. No estágio 1, a viga está deitada no solo com uma ponta em O, embaixo do cabo, e M é o ponto médio da viga. No estágio 2, a viga está inclinada: a ponta de cima sobe pelo cabo e a de baixo desliza no solo em direção a O. No estágio 3, a viga está em pé, vertical sobre O.

Na figura, o ponto O representa a projeção ortogonal do cabo de aço sobre o plano do chão e este se mantém na vertical durante todo o movimento de içamento da viga, que se inicia no tempo t = 0 (estágio 1) e finaliza no tempo \(t_f\) (estágio 3). Uma das extremidades da viga é içada verticalmente a partir do ponto O, enquanto que a outra extremidade desliza sobre o solo em direção ao ponto O. Considere que o cabo de aço utilizado pelo guindaste para içar a viga fique sempre na posição vertical. Na figura, o ponto M representa o ponto médio do segmento que representa a viga.

O gráfico que descreve a distância do ponto M ao ponto O, em função do tempo, entre t = 0 e \(t_f\), é

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No meio do movimento, a viga, o cabo e o chão formam um triângulo retângulo com o ângulo reto em O. A viga é a hipotenusa. Quanto mede a distância do vértice do ângulo reto ao ponto médio da hipotenusa?

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: como a distância de M até O muda enquanto a viga sobe.
ESTRUTURAR
- Uma ponta da viga sobe pela vertical de O; a outra desliza no chão até O.
- M é o ponto médio da viga, que tem comprimento fixo L.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Ver o triângulo retângulo em cada instante e usar a propriedade do ponto médio da hipotenusa. Conferir nos estágios 1 e 3.
A armadilha: achar que M se aproxima de O porque a ponta de baixo desliza até O, e marcar a reta que desce (alternativa C). A ponta de cima sobe ao mesmo tempo e compensa.
CALCULAR
Com a viga de comprimento L como hipotenusa do triângulo com ângulo reto em O:
\[OM = \frac{L}{2} \quad \text{em todo instante}\]
Estágio 1 (viga deitada, ponta em O): \(OM = \frac{L}{2}\). Estágio 3 (viga em pé sobre O): \(OM = \frac{L}{2}\).
CONFERIR
Com coordenadas: as pontas em (a, 0) e (0, b), com \(a^2 + b^2 = L^2\). Então \(M = (\tfrac{a}{2}, \tfrac{b}{2})\) e \(OM = \tfrac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2} = \tfrac{L}{2}\), que não depende do tempo ✓.

O cabo vertical e o chão formam um ângulo reto em O. A viga, de comprimento L, aparece em três posições, sempre ligando o cabo ao chão; é a hipotenusa do triângulo retângulo. O ponto médio M fica sempre a L/2 de O e anda sobre um arco tracejado de raio L/2, então a distância de M a O é constante.

Resposta: A

Leve para outras questões: o ponto médio da hipotenusa é o centro da circunferência que passa pelos três vértices do triângulo retângulo. É o caso clássico da escada que escorrega na parede.

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4 · TRIÂNGULO EQUILÁTERO

No equilátero os quatro centros são o mesmo ponto, e tudo sai da altura.

Com lado \(\ell\), a altura corta a base ao meio e forma um triângulo retângulo com hipotenusa \(\ell\) e cateto \(\ell/2\). Pitágoras dá:

\[h=\frac{\ell\sqrt3}{2}\qquad A=\frac{\ell^2\sqrt3}{4}\]

Como baricentro, incentro e circuncentro coincidem, o centro divide a altura em 2 para 1:

\[R=\frac23h=\frac{\ell\sqrt3}{3}\qquad r=\frac13h=\frac{\ell\sqrt3}{6}\]

\(R\) é o raio da circunferência que passa pelos vértices; \(r\), o da circunferência que encosta nos lados. E sempre \(R=2r\).

Três círculos iguais encostados formam um equilátero. Ligue os centros: cada lado mede dois raios. Pilhas de tubos, canos soldados e moedas viram esse triângulo.

O centro O fica a 2/3 da altura a partir do vértice: \(R=2r\).

ENEM 2021 · Questão 169 Média

O triângulo de percussão

O instrumento de percussão conhecido como triângulo é composto por uma barra fina de aço, dobrada em um formato que se assemelha a um triângulo, com uma abertura e uma haste, conforme ilustra a Figura 1.

Figura 1: o instrumento triângulo, uma barra de aço dobrada em forma de triângulo com uma abertura em um canto, e uma haste. Figura 2: um triângulo equilátero com a altura h igual a 8 cm tracejada do vértice de cima até a base, com o ângulo reto marcado.

Uma empresa de brindes promocionais contrata uma fundição para a produção de miniaturas de instrumentos desse tipo. A fundição produz, inicialmente, peças com o formato de um triângulo equilátero de altura h, conforme ilustra a Figura 2. Após esse processo, cada peça é aquecida, deformando os cantos, e cortada em um dos vértices, dando origem à miniatura. Assuma que não ocorram perdas de material no processo de produção, de forma que o comprimento da barra utilizada seja igual ao perímetro do triângulo equilátero representado na Figura 2.

Considere 1,7 como valor aproximado para \(\sqrt{3}\).

Nessas condições, o valor que mais se aproxima da medida do comprimento da barra, em centímetro, é

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A altura do triângulo equilátero de lado ℓ é \(\frac{\ell\sqrt{3}}{2}\). Ache ℓ e multiplique por 3.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o perímetro de um triângulo equilátero de altura 8 cm.
ESTRUTURAR
\[h = \frac{\ell\sqrt{3}}{2} = 8\]
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Isolar o lado e multiplicar por 3.
A armadilha: parar no lado, cerca de 9,07 cm (alternativa A), ou calcular só \(\sqrt{3} \cdot 8 = 13{,}6\) (alternativa B), que é metade do perímetro.
CALCULAR
\[\ell = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}\]
\[P = 3\ell = 16\sqrt{3} \approx 16 \cdot 1{,}7 = 27{,}2\]
CONFERIR
O valor mais próximo de 27,2 entre as alternativas é 27,18. Com o valor mais preciso \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\), o perímetro seria cerca de 27,7 cm, também mais perto de 27,18 que das outras.

Resposta: D

Leve para outras questões: no triângulo equilátero, perímetro e altura se ligam direto: \(P = 2\sqrt{3}\,h\).

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ENEM 2013 · Questão 141 Média–difícil

Três canos dentro de um maior

Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30 cm, são soldados entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma distância de 10 cm entre os canos soldados e o cano de raio maior. Essa distância é garantida por um espaçador de metal, conforme a figura:

Três canos iguais, de raio 30 cm, tangentes entre si, dentro de um cano maior de raio R; entre os canos e o cano maior há uma folga de 10 cm.

Utilize 1,7 como aproximação para \(\sqrt{3}\).

O valor de R, em centímetros, é igual a

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Ligue os centros dos três canos: forma um triângulo equilátero de lado 60 cm. O centro do cano grande é o centro desse triângulo. R é a distância do centro até um vértice, mais 30, mais 10.

Ver resolução

INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a distância do centro do cano grande até sua borda, passando por um dos canos pequenos.
ESTRUTURAR
• Três canos de raio 30 cm, tangentes entre si.
• Folga de 10 cm até o cano grande.
• \(\sqrt{3} \approx 1{,}7\).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Somar a distância do centro ao centro de um cano, o raio desse cano e a folga.
A armadilha: usar a altura inteira do triângulo, \(30\sqrt{3} = 51\), no lugar da distância do centro ao vértice. Dá \(51 + 30 + 10 = 91\) (alternativa E).
CALCULAR
\[\text{lado} = 30 + 30 = 60\ \text{cm}\]
\[\text{centro ao vértice} = \frac{60}{\sqrt{3}} = 20\sqrt{3} \approx 20 \cdot 1{,}7 = 34\ \text{cm}\]
\[R = 34 + 30 + 10 = 74\ \text{cm}\]
CONFERIR
Pela altura: \(h = 30\sqrt{3} \approx 51\) e dois terços dela dão 34 ✓.

Os centros dos três canos de raio 30 cm formam um triângulo equilátero de lado 60 cm. O centro do cano grande é o centro desse triângulo, a 60 dividido por raiz de 3, cerca de 34 cm, de cada vértice. R = 34 + 30 + 10 = 74 cm.

Resposta: C

Leve para outras questões: três círculos iguais tangentes formam, pelos centros, um triângulo equilátero; o centro do conjunto é o baricentro.

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UFRGS 2018 · Questão 41 Fácil–média

O círculo dentro do equilátero

Considere um triângulo equilátero circunscrito a um círculo. Se a distância de cada vértice do triângulo ao centro do círculo é 2 cm, a área da região do triângulo não ocupada pelo círculo, em cm², é

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No triângulo equilátero, o centro fica a \(\frac23\) da altura a partir do vértice. Se essa parte vale 2, a altura vale 3 e o raio do círculo vale 1.

Ver resolução

INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a área do triângulo menos a área do círculo inscrito.
ESTRUTURAR
• Distância centro–vértice: 2.
• Raio do círculo (centro–lado): 1.
• Altura: \(2 + 1 = 3\).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Achar o lado pela altura, calcular as duas áreas e subtrair.
A armadilha: usar 2 como raio do círculo. O 2 é a distância ao vértice; o círculo encosta nos lados, a uma distância 1.
CALCULAR
\[\frac{\ell\sqrt3}{2} = 3 \Rightarrow \ell = 2\sqrt3 \qquad A_\triangle = \frac{(2\sqrt3)^2\sqrt3}{4} = 3\sqrt3\]
\[A = 3\sqrt3 - \pi \cdot 1^2 = 3\sqrt3 - \pi\]
CONFERIR
\(3\sqrt3 - \pi \approx 5{,}20 - 3{,}14 = 2{,}06\), positivo e menor que a área do triângulo ✓.
Por que as outras tentam: D é a área do círculo e C soma as duas áreas em vez de subtrair.

Triângulo equilátero em dourado com o círculo inscrito branco. Do centro O ao vértice são 2 unidades, e do centro ao lado é o raio 1. Altura 3, lado 2√3, área 3√3; círculo π; região 3√3 − π.

Resposta: B

Leve para outras questões: no triângulo equilátero, raio do círculo circunscrito = 2 × raio do inscrito, e a altura é a soma dos dois.

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UFRGS 2024 · Questão 51 Média

Equilátero e semicircunferência

Na figura abaixo, o triângulo ABC é equilátero de lado \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\).

Triângulo equilátero ABC com A no alto e BC na base. Um círculo passa por A e toca a base no ponto médio M. O círculo corta o lado AB no ponto N.

Sabendo que \(\overline{AM}\) é altura do triângulo e diâmetro do círculo, a medida de \(\overline{AN}\) é

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N está no círculo de diâmetro AM. Que ângulo o triângulo ANM tem em N?

Ver resolução

INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o comprimento AN, um cateto do triângulo ANM.
ESTRUTURAR
• \(AM = \frac{4\sqrt3}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 2\) (diâmetro).
• O ângulo \(\widehat{MAN}\) é 30°.
• O ângulo em N é reto, porque AM é diâmetro.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Usar o triângulo retângulo ANM, com hipotenusa AM = 2.
A armadilha: tratar AN como a metade do lado, sem ver o ângulo reto em N.
CALCULAR
\[AN = AM \cdot \cos 30^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt3}{2} = \sqrt3\]
CONFERIR
O outro cateto é \(MN = 2 \cdot \sin 30^\circ = 1\), e \((\sqrt3)^2 + 1^2 = 4 = 2^2\) ✓. O lado AB mede \(\approx 2{,}31\), e AN \(\approx 1{,}73\) cabe dentro dele ✓.
Por que as outras tentam: a alternativa E, 1, é o cateto MN; a D, 2, é o próprio diâmetro AM.

Triângulo equilátero ABC com a altura AM = 2 e o círculo de diâmetro AM. O triângulo ANM, em azul, é retângulo em N e tem ângulo de 30° em A, então AN = 2 · cos 30° = √3.

Resposta: B

Leve para outras questões: quando um segmento é diâmetro, procure o ângulo reto no ponto do círculo. Ele transforma o problema num triângulo retângulo.

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5 · ARMADILHAS DE PROVA

Os seis erros que a banca coloca nas alternativas.

Classificar só por um critério. Ângulo e lado são dois nomes; esquecer os lados iguais troca isósceles por escaleno. Veja no remador.
Contar trios sem testar a desigualdade. Somar certo não basta: o maior lado tem que ser menor que a soma dos outros. Veja nos palitos.
Testar um par qualquer em vez do maior lado contra a soma dos dois menores. Veja na UFRGS.
Parar na altura inteira quando a pergunta é a distância do centro ao vértice, que é 2/3 dela. Veja no hospital.
Trocar R por r. A distância do centro ao vértice é o dobro da distância do centro ao lado. Veja no círculo inscrito.
Esquecer uma parcela no fim. Em problemas de pilha, a resposta soma raios, altura do triângulo e folgas. Veja nos canos.

6 · DESAFIO

ENEM 2017: três tubos empilhados num caminhão e um viaduto.

É a questão 153 da prova de 2017, de nível médio–difícil. Ligue os centros dos tubos e procure o triângulo. Clique numa alternativa para conferir. A resolução segue os 5 passos: interpretar, estruturar, escolher a estratégia, calcular e conferir.

ENEM 2017 · Questão 153 Média–difícil

O caminhão que entalou no viaduto

A manchete demonstra que o transporte de grandes cargas representa cada vez mais preocupação quando feito em vias urbanas.

Caminhão entala em viaduto no Centro

Um caminhão de grande porte entalou embaixo do viaduto no cruzamento das avenidas Borges de Medeiros e Loureiro da Silva no sentido Centro-Bairro, próximo à Ponte de Pedra, na capital. Esse veículo vinha de São Paulo para Porto Alegre e transportava três grandes tubos, conforme ilustrado na foto.

Foto do caminhão entalado sob o viaduto, carregando três grandes tubos empilhados.

Disponível em: www.caminhoes-e-carretas.com. Acesso em: 21 maio 2012 (adaptado).

Considere que o raio externo de cada cano da imagem seja 0,60 m e que eles estejam em cima de uma carroceria cuja parte superior está a 1,30 m do solo. O desenho representa a vista traseira do empilhamento dos canos.

Vista traseira dos três canos: dois apoiados lado a lado na carroceria e o terceiro em cima, encostado nos dois. O raio externo marcado é 0,60 m.

A margem de segurança recomendada para que um veículo passe sob um viaduto é que a altura total do veículo com a carga seja, no mínimo, 0,50 m menor do que a altura do vão do viaduto.

Considere 1,7 como aproximação para \(\sqrt{3}\).

Qual deveria ser a altura mínima do viaduto, em metro, para que esse caminhão pudesse passar com segurança sob seu vão?

Ver uma pista

Ligue os centros dos três canos: forma um triângulo equilátero de lado 1,20 m. A altura dele, somada a um raio embaixo e um raio em cima, dá a altura da pilha.

Ver resolução

INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a altura do topo do cano de cima em relação ao solo, mais a margem de 0,50 m.
ESTRUTURAR
• Raio de cada cano: 0,60 m.
• Carroceria a 1,30 m do solo.
• Margem: 0,50 m.
• \(\sqrt{3} \approx 1{,}7\).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Somar: carroceria, raio de baixo, altura do triângulo dos centros, raio de cima e a margem.
A armadilha: parar na altura do caminhão, 3,52 m (alternativa B), e esquecer a margem de segurança de 0,50 m.
CALCULAR
\[\text{altura do triângulo} = \frac{1{,}2\sqrt{3}}{2} = 0{,}6 \cdot 1{,}7 = 1{,}02\]
\[\text{pilha} = 0{,}6 + 1{,}02 + 0{,}6 = 2{,}22\]
\[\text{caminhão com carga} = 1{,}30 + 2{,}22 = 3{,}52 \qquad \text{viaduto} = 3{,}52 + 0{,}50 = 4{,}02\]
CONFERIR
A pilha de 2,22 m precisa ser mais alta que um cano só (1,20 m) e mais baixa que dois canos um sobre o outro (2,40 m), porque o de cima se encaixa entre os dois de baixo. 2,22 está nesse intervalo ✓.

Os três canos de raio 0,60 m vistos de trás, com os centros ligados por um triângulo equilátero de lado 1,20 m. A altura do triângulo é 0,6 vezes 1,7, igual a 1,02. A pilha mede 0,60 mais 1,02 mais 0,60, igual a 2,22 m; com a carroceria, 3,52 m; com a margem de 0,50 m, o viaduto precisa de 4,02 m.

Resposta: D

Leve para outras questões: com círculos encostados, ligue os centros. A figura dos centros, aqui um triângulo equilátero, resolve a conta.

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7 · TREINO RÁPIDO

Dez contas para fixar, com resposta.

Faz no papel antes de abrir a resposta. Se errar mais de duas, volta à seção correspondente.

1
Classifique pelos lados e pelos ângulos o triângulo de lados 6, 8 e 10.
Ver resposta
\(10^2=100=36+64\): retângulo. Os três lados são diferentes: escaleno.
2
Classifique pelos ângulos o triângulo de lados 5, 6 e 9.
Ver resposta
\(81>25+36=61\): obtusângulo.
3
Os lados 3, 7 e 10 formam triângulo?
Ver resposta
Não: \(3+7=10\), e o maior lado precisa ser menor que a soma, e não igual.
4
Dois lados medem 6 e 11. Qual é o menor valor inteiro do terceiro lado? E o maior?
Ver resposta
\(5<x<17\): o menor inteiro é 6 e o maior é 16.
5
Num isósceles, o ângulo do vértice mede 50°. Quanto mede cada ângulo da base?
Ver resposta
\((180^\circ-50^\circ)\div2=65^\circ\).
6
Os vértices de um triângulo são \((1,2)\), \((7,2)\) e \((4,8)\). Onde fica o baricentro?
Ver resposta
\(\left(\frac{1+7+4}{3},\frac{2+2+8}{3}\right)=(4,4)\).
7
Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 14 cm. Quanto mede a mediana que sai do ângulo reto?
Ver resposta
Metade da hipotenusa: 7 cm.
8
Os pontos médios de dois lados de um triângulo são ligados. O terceiro lado mede 18 cm. Quanto mede o segmento?
Ver resposta
Base média: metade do terceiro lado, 9 cm.
9
Qual é a área de um triângulo equilátero de lado 4?
Ver resposta
\(\dfrac{4^2\sqrt3}{4}=4\sqrt3\approx6{,}9\).
10
Uma circunferência de raio 3 está inscrita num triângulo equilátero. Qual é a altura do triângulo?
Ver resposta
\(r=\dfrac h3\), então \(h=3r=9\).

RESUMO PARA REVISAR

Triângulos em seis linhas.

Classifica pelos ângulos (acutângulo, retângulo, obtusângulo) e pelos lados (equilátero, isósceles, escaleno).
Com o maior lado \(c\): \(c^2\) igual, maior ou menor que \(a^2+b^2\) diz se é retângulo, obtusângulo ou acutângulo.
Existência: o maior lado é menor que a soma dos outros dois; o terceiro lado fica entre a diferença e a soma.
Baricentro (medianas, 2 para 1), incentro (bissetrizes, mesma distância dos lados), circuncentro (mediatrizes, mesma distância dos vértices).
No retângulo, a mediana da hipotenusa mede metade dela; a base média mede metade do lado paralelo.
Equilátero: \(h=\frac{\ell\sqrt3}{2}\), \(A=\frac{\ell^2\sqrt3}{4}\), \(R=\frac23h\), \(r=\frac13h\).

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Três medidas só fecham um triângulo se o maior lado for menor que a soma dos outros dois. E o centro do triângulo depende de qual centro a questão pede.

Seis perguntas dizem qual seção você precisa.

Todo triângulo tem dois nomes: um pelos ângulos e outro pelos lados.

Cada lado precisa ser menor que a soma dos outros dois.

Quatro tipos de reta, quatro centros. Cada centro responde a uma pergunta diferente.

No equilátero os quatro centros são o mesmo ponto, e tudo sai da altura.

Os seis erros que a banca coloca nas alternativas.

ENEM 2017: três tubos empilhados num caminhão e um viaduto.

Dez contas para fixar, com resposta.

Triângulos em seis linhas.