Na figura abaixo, o triângulo ABC é equilátero de lado \frac{4\sqrt{3}}{3}.
Sabendo que \overline{AM} é altura do triângulo e diâmetro do círculo, a medida de \overline{AN} é
UFRGS · 2024
Questão 51 — UFRGS 2024
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
N está no círculo de diâmetro AM. Que ângulo o triângulo ANM tem em N?
Resolução
O que você precisa saber
- A altura do triângulo equilátero de lado L é L√3/2.
- Todo triângulo inscrito com um lado igual ao diâmetro é retângulo no vértice oposto.
- A altura do equilátero divide o ângulo de 60° do vértice em dois de 30°.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o comprimento AN, um cateto do triângulo ANM.
ESTRUTURAR
• AM = \frac{4\sqrt3}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 2 (diâmetro).
• O ângulo \widehat{MAN} é 30°.
• O ângulo em N é reto, porque AM é diâmetro.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Usar o triângulo retângulo ANM, com hipotenusa AM = 2.
A armadilha: tratar AN como a metade do lado, sem ver o ângulo reto em N.
CALCULAR
AN = AM \cdot \cos 30^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt3}{2} = \sqrt3CONFERIR
O outro cateto é MN = 2 \cdot \sin 30^\circ = 1, e (\sqrt3)^2 + 1^2 = 4 = 2^2 ✓. O lado AB mede \approx 2{,}31, e AN \approx 1{,}73 cabe dentro dele ✓.
Por que as outras tentam: a alternativa E, 1, é o cateto MN; a D, 2, é o próprio diâmetro AM.
Resposta
\sqrt{3}.
Alternativa correta
B