Considere um triângulo equilátero circunscrito a um círculo. Se a distância de cada vértice do triângulo ao centro do círculo é 2 cm, a área da região do triângulo não ocupada pelo círculo, em cm², é
UFRGS · 2018
Questão 41 — UFRGS 2018
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
No triângulo equilátero, o centro fica a \frac23 da altura a partir do vértice. Se essa parte vale 2, a altura vale 3 e o raio do círculo vale 1.
Resolução
O que você precisa saber
- No triângulo equilátero, o incentro e o baricentro coincidem.
- O baricentro divide a altura na razão 2 para 1.
- A altura do triângulo equilátero de lado ℓ é ℓ√3 ÷ 2.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a área do triângulo menos a área do círculo inscrito.
ESTRUTURAR
• Distância centro–vértice: 2.
• Raio do círculo (centro–lado): 1.
• Altura: 2 + 1 = 3.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Achar o lado pela altura, calcular as duas áreas e subtrair.
A armadilha: usar 2 como raio do círculo. O 2 é a distância ao vértice; o círculo encosta nos lados, a uma distância 1.
CALCULAR
\frac{\ell\sqrt3}{2} = 3 \Rightarrow \ell = 2\sqrt3 \qquad A_\triangle = \frac{(2\sqrt3)^2\sqrt3}{4} = 3\sqrt3A = 3\sqrt3 - \pi \cdot 1^2 = 3\sqrt3 - \piCONFERIR
3\sqrt3 - \pi \approx 5{,}20 - 3{,}14 = 2{,}06, positivo e menor que a área do triângulo ✓.
Por que as outras tentam: D é a área do círculo e C soma as duas áreas em vez de subtrair.
Resposta
3\sqrt3 - \pi.
Alternativa correta
B