A partir de um hexágono regular de lado unitário, constroem-se semicírculos de diâmetros também unitários, conforme indicados na figura abaixo.
A medida da área sombreada é
UFRGS · 2018
Questão 42 — UFRGS 2018
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
As seis pontas da estrela formam um hexágono regular menor, de lado \frac12. A estrela é esse hexágono menos seis "lascas" de círculo.
Resolução
O que você precisa saber
- O hexágono regular de lado ℓ tem área 3√3 · ℓ² ÷ 2.
- Segmento circular = setor − triângulo.
- Setor de 60° tem um sexto da área do círculo.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a área da estrela no centro.
ESTRUTURAR
• As pontas da estrela ficam a \frac12 do centro e formam um hexágono regular de lado \frac12.
• Cada lado curvo da estrela é um arco de 60° de um semicírculo de raio \frac12, e corta um segmento circular desse hexágono menor.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Hexágono menor menos 6 segmentos circulares.
A armadilha: tentar "hexágono grande − 6 semicírculos". Os semicírculos vizinhos se sobrepõem nas pétalas, e a conta direta conta essas pétalas duas vezes.
CALCULAR
A_{\text{hex. menor}} = \frac{3\sqrt3}{2} \cdot \frac14 = \frac{3\sqrt3}{8}A_{\text{segmento}} = \frac{\pi}{6} \cdot \frac14 - \frac{\sqrt3}{4} \cdot \frac14 = \frac{\pi}{24} - \frac{\sqrt3}{16}A = \frac{3\sqrt3}{8} - 6\left(\frac{\pi}{24} - \frac{\sqrt3}{16}\right) = \frac{3\sqrt3}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{3\sqrt3 - \pi}{4}CONFERIR
Pelo outro caminho: hexágono grande \frac{3\sqrt3}{2} menos a união dos 6 semicírculos. Cada pétala vale \frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt3}{8}, e a união é 6 \cdot \frac{\pi}{8} - 6\left(\frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt3}{8}\right) = \frac{\pi}{4} + \frac{3\sqrt3}{4}. Sobra \frac{3\sqrt3}{2} - \frac{\pi}{4} - \frac{3\sqrt3}{4} = \frac{3\sqrt3 - \pi}{4} ✓.
Numericamente, \approx 0{,}51, cerca de 20% do hexágono de área 2,6, o que combina com a figura ✓.
Por que as outras tentam: E é o hexágono inteiro, e D soma \frac{\pi}{4} em vez de subtrair.
Resposta
\frac{3\sqrt3 - \pi}{4}.
Alternativa correta
A