Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de lado 4. Os quatro círculos maiores são tangentes aos lados do quadrado e tangentes entre si. O círculo menor sombreado tangencia os círculos maiores.
A área do círculo sombreado é
UFRGS · 2024
Questão 52 — UFRGS 2024
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Os círculos maiores têm raio 1. Ligue o centro do quadrado ao centro de um deles: essa distância é 1 + r.
Resolução
O que você precisa saber
- Em circunferências tangentes por fora, a distância entre os centros é a soma dos raios.
- A diagonal de um quadrado de lado ℓ mede ℓ√2.
- (√2 − 1)² = 3 − 2√2.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o raio r do círculo pequeno, para calcular \pi r^2.
ESTRUTURAR
• Raio dos maiores: 4 \div 4 = 1.
• Centro de um maior: (1, 1). Centro do quadrado: (2, 2).
• Distância entre eles: \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt2.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Igualar a distância entre centros à soma dos raios.
A armadilha: calcular r = \sqrt2 - 1 e usar o diâmetro no lugar do raio. Com 2(\sqrt2 - 1), a área sai 4\pi(3 - 2\sqrt2), alternativa E.
CALCULAR
1 + r = \sqrt2 \quad\Rightarrow\quad r = \sqrt2 - 1A = \pi(\sqrt2 - 1)^2 = \pi(2 - 2\sqrt2 + 1) = \pi(3 - 2\sqrt2)CONFERIR
r \approx 0{,}41, menos da metade do raio dos maiores, como na figura ✓.
Resposta
\pi\left(3 - 2\sqrt{2}\right).
Alternativa correta
A