Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de lado 1; M e N são pontos médios dos lados \overline{AB} e \overline{BC}, respectivamente, e P é o ponto de interseção dos segmentos \overline{DM} e \overline{AN}.
Sabendo que o ângulo APD é reto, a área da região sombreada é
Coloque A na origem. Escreva as retas AN e DM e ache P. Depois, a região sombreada tem duas partes: o triângulo ADP e o quadrilátero PMBN.
O que a questão quer de verdade: a soma de duas áreas, a do triângulo ADP e a do quadrilátero PMBN.
• A(0,0), B(1,0), D(0,1), M\left(\frac12, 0\right), N\left(1, \frac12\right).
• Reta AN: y = \frac{x}{2}.
• Reta DM: y = 1 - 2x.
Achar P pelas retas e calcular cada parte.
A armadilha: calcular só o triângulo ADP e parar. Ele vale \frac15, alternativa C, mas é só metade da região.
Triângulo ADP: base AD = 1, altura = \frac25 (distância de P ao lado AD):
A_1 = \frac{1 \cdot \frac25}{2} = \frac15Quadrilátero PMBN = triângulo ABN − triângulo APM:
A_2 = \frac{1 \cdot \frac12}{2} - \frac{\frac12 \cdot \frac15}{2} = \frac14 - \frac1{20} = \frac15A_1 + A_2 = \frac25O ângulo reto em P confere: as inclinações \frac12 e -2 multiplicam -1 ✓. A região toma \frac25 do quadrado, menos da metade, como mostra a figura ✓.
\frac{2}{5}.
