Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Considere dois círculos de centros A e C, raio 1 e tangentes entre si. O segmento \overline{AC} é diagonal do quadrado ABCD. Os círculos de centros B e D são tangentes aos círculos de centros A e C, como mostra a figura abaixo.
O raio dos círculos de centros B e D é
Se os círculos de A e C se tocam, quanto mede AC? E o lado AB do quadrado? Quando dois círculos se tocam por fora, a distância entre os centros é a soma dos raios.
O que a questão quer de verdade: achar o lado do quadrado pela diagonal e usar a tangência entre os círculos de A e B.
AC = 1 + 1 = 2. Lado do quadrado: AB = \tfrac{2}{\sqrt2} = \sqrt2. Tangência: AB = 1 + r.
Igualar o lado do quadrado à soma dos raios.
A armadilha: tomar a diagonal (2) como distância entre A e B.
r \approx 0{,}41 é menor que 1, e na figura os círculos de B e D são bem menores que os de A e C ✓.
Por que as outras tentam: D (\sqrt2 + 1) soma em vez de subtrair; B (1) vem de usar a diagonal como distância entre A e B, 1 + r = 2; C e E dariam círculos maiores que os de A e C, contra a figura.
\sqrt2 - 1.
