Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de área 64. O círculo passa pelos pontos A e B e é tangente ao lado \overline{CD}.
A área do círculo é
UFRGS · 2025
Questão 68 — UFRGS 2025
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Use o ponto médio de AB e o centro do círculo. A tangência permite escrever a distância vertical do centro até AB em função do raio.
Resolução
O que você precisa saber
- Área do quadrado
- Mediatriz de uma corda
- Tangência
O que enxergar
1. Descubra o lado do quadrado
Como a área do quadrado é 64, seu lado mede
\sqrt{64}=82. Organize os pontos importantes
Se M é o ponto médio de \overline{AB}, então
AM=4O centro O do círculo pertence à mediatriz de \overline{AB}. Como A está no círculo,
OA=r3. Use a tangência
Como o círculo é tangente a \overline{CD}, a distância do centro O até o lado superior é r.
A altura total do quadrado é 8, então
OM=8-r4. Aplique Pitágoras no triângulo OMA
OA^2=AM^2+OM^2r^2=4^2+(8-r)^2r^2=16+64-16r+r^216r=80r=55. Calcule a área do círculo
A=\pi r^2A=\pi\cdot5^2A=25\piResposta
25\pi
Alternativa correta
B