Na figura abaixo, ABCDEFGH é um cubo de aresta 1. Os pontos M,N,O,P,Q,R são pontos médios das arestas AB,BC,CG,GH,HE,EA, respectivamente.
O volume da pirâmide de base MNOPQR e vértice F é
UFRGS · 2025
Questão 69 — UFRGS 2025
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Antes de calcular o volume, identifique qual é a base da pirâmide e qual segmento representa a altura perpendicular a essa base.
Resolução
O que você precisa saber
- Cubo
- Pontos médios
- Hexágono regular
O que enxergar
1. Identifique a base da pirâmide
Os seis pontos médios M, N, O, P, Q e R pertencem a um mesmo plano e formam a base MNOPQR.
Em cada face do cubo, o segmento entre dois pontos médios consecutivos é metade da diagonal da face. Por isso, todos os lados do hexágono têm a mesma medida.
\ell=\frac{\sqrt2}{2}=\frac1{\sqrt2}2. Calcule a área da base
A base MNOPQR é um hexágono regular. Podemos dividi-la em seis triângulos equiláteros de lado ℓ.
A_{\text{base}}=6\cdot\frac{\sqrt3}{4}\ell^2A_{\text{base}}=6\cdot\frac{\sqrt3}{4}\cdot\frac12A_{\text{base}}=\frac{3\sqrt3}{4}3. Determine a altura da pirâmide
O plano da base passa pelo centro S do cubo. A altura da pirâmide é a distância perpendicular do vértice F a esse plano.
O segmento FS corresponde à metade da diagonal espacial do cubo.
d_{\text{espacial}}=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt3h=FS=\frac{\sqrt3}{2}4. Calcule o volume
V=\frac13A_{\text{base}}hV=\frac13\cdot\frac{3\sqrt3}{4}\cdot\frac{\sqrt3}{2}V=\frac13\cdot\frac98V=\frac38Resposta
\frac38
Alternativa correta
E