O volume do sólido gerado pela rotação de um quadrado de lado a em torno de uma de suas diagonais é
UFRGS · 2025
Questão 70 — UFRGS 2025
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Imagine a diagonal como eixo de rotação. O sólido formado pode ser decomposto em dois cones congruentes que possuem a mesma base circular.
Resolução
O que você precisa saber
- Diagonal do quadrado
- Sólido de revolução
- Cone
O que enxergar
1. Enxergue o sólido gerado
Ao girar o quadrado em torno de uma de suas diagonais, os dois vértices que não pertencem ao eixo descrevem a mesma circunferência.
O sólido resultante é formado por dois cones congruentes unidos pela base.
2. Determine a diagonal do quadrado
d=\sqrt{a^2+a^2}d=a\sqrt23. Determine a altura de cada cone
A diagonal é o eixo do sólido. Como os dois cones são congruentes, cada um ocupa metade dessa diagonal.
h=\frac{a\sqrt2}{2}h=\frac{a}{\sqrt2}4. Determine o raio da base
A distância de um dos outros vértices do quadrado até a diagonal é o raio da circunferência gerada pela rotação.
No triângulo retângulo isósceles formado pela diagonal do quadrado, essa distância vale:
r=\frac{a}{\sqrt2}5. Calcule o volume total
Como o sólido é formado por dois cones congruentes:
V=2\cdot\frac13\pi r^2hV=2\cdot\frac13\pi\left(\frac{a}{\sqrt2}\right)^2\left(\frac{a}{\sqrt2}\right)V=\frac{a^3\pi}{3\sqrt2}V=\frac{a^3\pi\sqrt2}{6}Resposta
\frac{a^3\pi\sqrt2}{6}
Alternativa correta
B